Question

2、如圖所示，AA₁∥BA₂，求∠A₁-∠B₁+∠A₂．

Answer 1

分析：過(guò)B₁點(diǎn)做B₁E平行于AA₁和BA₂，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

解答：證明：分析本題對(duì)∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小并沒(méi)有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個(gè)角的大小無(wú)關(guān)．也就是說(shuō)，不管∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀(guān)，有理由猜想答案大概是零，即
∠A₁+∠A₂=∠B₁．①
猜想，常常受到直觀(guān)的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B₁一分為二使其每一部分分別等于∠A₁與∠A₂．這就引發(fā)我們過(guò)B₁點(diǎn)引AA₁（從而也是BA₂）的平行線(xiàn)，它將∠B₁一分為二．
過(guò)B₁引B₁E∥AA₁，它將∠A₁B₁A₂分成兩個(gè)角：∠1，∠2（如圖所示）．
因?yàn)锳A₁∥BA₂，所以B₁E∥BA₂．從而
∠1=∠A₁，∠₂=∠A₂（內(nèi)錯(cuò)角相等），
所以
∠B₁=∠1+∠2=∠A₁+∠A₂，
即∠A₁-∠B₁+∠A₂=0．
說(shuō)明（1）從證題的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于AA₁∥BA₂，它與連接A₁，A₂兩點(diǎn)之間的折線(xiàn)段的數(shù)目無(wú)關(guān)，如圖所示．連接A₁，A₂之間的折線(xiàn)段增加到4條：A₁B₁，B₁A₂，A₂B₂，B₂A3，仍然有∠A₁+∠A₂+∠A3=∠B₁+∠B₂．
（即哪些向右凸出的角的和=向左凸的角的和）即
∠A₁-∠B₁+∠A₂-∠B₂+∠A3=0．
進(jìn)一步可以推廣為
∠A₁-∠B₁+∠A₂-∠B₂+-∠B_n-₁+∠A_n=0．
這時(shí)，連接A₁，A_n之間的折線(xiàn)段共有n段A₁B₁，B₁A₂，，B_n-₁A_n（當(dāng)然，仍要保持AA₁∥BA_n）．
推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如果抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問(wèn)題推廣到復(fù)雜的情況．
（2）這個(gè)問(wèn)題也可以將條件與結(jié)論對(duì)換一下，變成一個(gè)新問(wèn)題．
問(wèn)題1如圖所示．∠A₁+∠A₂=∠B₁，問(wèn)AA₁與BA₂是否平行？

問(wèn)題2如圖所示．若∠A₁+∠A₂++∠A_n=∠B₁+∠B₂++∠B_n-1，問(wèn)AA₁與BA_n是否平行？
這兩個(gè)問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)加以思考．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，此題難度較大，要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題思路．