如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上任意一點(與A、C兩點不重合).Q是CB延長線上一點,且始終滿足條件BQ=AP,過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)如圖(1)當(dāng)∠CQP=30°時.求AP的長.
(2)如圖(2),當(dāng)P在任意位置時,求證:DE=數(shù)學(xué)公式AB.
作业宝

解:(1)作PF∥BC交AB于點F,
∴∠AEF=∠ABC,∠APF=∠C.∠PFD=∠QBD,∠FPD=∠BQD.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.AB=BC=AC.
∴∠AEF=60°,∠APF=60°,
∴∠AEF=∠APF=∠C=60°,
∴△AFP是等邊三角形,
∴AF=AP=PF.
∵PE⊥AB,
∴AE=EF.
∵∠CQP=30°,∠C=60°,
∴∠QPC=90°,
∴∠DPA=90°,
∴∠ADP=30°.
∴AD=2AP.
∴AD=2AF.
∵DF+AF=AD,
∴DF+AF=2AF,
∴DF=AF,
∵BQ=AP,
∴BQ=FP.
在△PFD和△QBD中
,
∴△PFD≌△QBD(ASA),
∴FD=BD.
∴BD=DF=AF=AB.
∵AB=6,
∴AF=2,
∴AP=2.
答:AP的長為2;
(2)如圖2,作PF∥BC交AB于點.
∴∠AEF=∠ABC,∠APF=∠C.∠PFD=∠QBD,∠FPD=∠BQD.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.AB=BC=AC.
∴∠AEF=60°,∠APF=60°,
∴∠AEF=∠APF=∠C=60°,
∴△AFP是等邊三角形,
∴AF=AP=PF.
∵PE⊥AB,
∴AE=EF=AF.
∵BQ=AP,
∴BQ=FP.
在△PFD和△QBD中

∴△PFD≌△QBD(ASA),
∴FD=BD=BF.
∵ED=EF+DF=AF+BF,
∴ED=(AF+BF),
∴ED=AB.
分析:(1)作PF∥BC交AB于點F.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以求出∠QPC=∠DPA=90°,得出AB=3AP而求出結(jié)論;
(2)作PF∥BC交AB于點F.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△PFD≌△QBD就有DF=DB,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出AE=EF,由EF+FD=ED就可以得出結(jié)論.
點評:本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,直角三角形的性質(zhì)的運用,平行線的性質(zhì)的運用,解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是邊長為a的等邊三角形,O為△ABC的中心.將△ABC繞著中心O旋轉(zhuǎn)120°.
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②設(shè)點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上,且AD=2DB,BE=2EC,CF=2FA,試畫出△DEF,說明它的形狀,并計算它的周長;
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(2012•遵義)如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點,由A向C運動(與A、C不重合),Q是CB延長線上一點,與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當(dāng)∠BQD=30°時,求AP的長;
(2)當(dāng)運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長;如果變化請說明理由.

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(2013•溧水縣一模)如圖,△ABC是邊長為4的等邊三角形,將△ABC沿直線BC向右平移,使B點與C點重合,得到△DCE,連結(jié)BD,交AC于F.
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(2012•湘潭)如圖,△ABC是邊長為3的等邊三角形,將△ABC沿直線BC向右平移,使B點與C點重合,得到△DCE,連接BD,交AC于F.
(1)猜想AC與BD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)求線段BD的長.

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