Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，過D點作DE∥AC交BC的延長線于E點．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，來證明四邊形ACED是平行四邊形；
（2）過D點作DF⊥BE于F點，證明四邊形ABCD是等腰梯形，進一步證明△DBE是等腰直角三角形，求得DF的值，代入S_梯形ABCD=（AD+BC）•DF即可．
解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴AD∥CE．
又∵DE∥AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形．（4分）

（2）解：過D點作DF⊥BE于F點，（5分）
∵DE∥AC，AC⊥BD，
∴DE⊥BD，即∠BDE=90°．（6分）
由（1）知DE=AC，CE=AD=3，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB．（7分）
∴DE=DB．（8分）
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴△DFB也是等腰直角三角形．
∴DF=BF=（7-3）+3=5．（10分）
（也可運用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
S_梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（7+3）×5=25．（12分）
點評：此題考查平行四邊形的判定、等腰梯形的性質及梯形中常見的輔助線的作法．