Question

【題目】已知∠MON＝90°，點A，B分別在射線OM，ON上運動（不與點O重合）,

觀察：

（1）如圖1，若∠OBA和∠OAB的平分線交于點C，∠ACB＝　 　°

猜想：

（2）如圖2，隨著點A，B分別在射線OM，ON上運動（不與點O重合）．若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點E，∠E的大小會變嗎？如果不會，求∠E的度數；如果會改變，說明理由．

拓展：

（3）如圖3，在（2）基礎上，小明將△ABE沿MN折疊，使點E落在四邊形ABMN內點E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度數．

Answer 1

【答案】觀察：（1）135．猜想：（2）∠E＝45°．拓展：（3）90°．

【解析】

（1）根據三角形內角和定理得到∠OBA+∠OAB=90°，根據角平分線的定義計算即可；

（2）根據角平分線的定義再進行等量代換，計算即可；

（3）根據折疊的性質得到∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），根據三角形內角和定理計算即可

解：（1）∵∠MON＝90°，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，

∵∠OBA和∠OAB的平分線交于點C，

∴∠ABC＝∠OBA，∠BAC＝∠OAB，

∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝45°，

∴∠CBA＝180°﹣45°＝135°

故答案為135．

（2）∵AE是∠BAO的平分線

∴∠BAE＝ ∠BAO，

∵BC是∠ABN的平分線，

∴∠CBA＝∠NBA，

∵∠NBA＝∠O+∠BAO，

∴∠CBA＝（∠O+∠BAO）＝45°+∠BAE，

∵∠CBA＝∠E+∠BAE，

∴∠E+∠BAE＝45°+∠BAE，

即∠E＝45°．

（3）由折疊可得，∠EMN＝∠E′MN，∠E N M＝∠E′NM，

∴2∠EMN+∠BM E′＝180°，2∠ENM+∠ANE′＝180°，

∴∠BM E′＝180°﹣2∠EMN，∠ANE′＝180°﹣2∠ENM，

∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），

∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠E，∠E＝45°，

∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM）

＝360°﹣2（180°﹣∠E）

＝2∠E

＝90°．