Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC的中點(diǎn)D在⊙O上，DE⊥BC于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=3，∠A=30°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．證明DE⊥OD即可．根據(jù)三角形中位線定理可證；
（2）可證∠C=∠ADO=∠A=30°．連接BD可得△BCD為直角三角形，解之可求BE、BC的長度，根據(jù)中位線定理求OD得解．
解答：（1）證明：連接OD．（如圖1）
∵D為AC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（1分）
∴OD∥BC．
∴∠ODE=∠DEC．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（2分）
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD．
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）

（2）連接BD．（如圖2）
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∴BD⊥AC，∠CDE+∠BDE=90°．
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AB=BC．
∴∠A=∠C=30°．
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠CDE=90°．
∴∠C=∠BDE=30°．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（4分）
∴DE=CE•tan30°=3×=，
 BE=DE•tan30°=×=1．
∴BC=1+3=4．
∴OD=BC=2．
即⊙O的半徑為2．（6分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定方法、三角形的中位線定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性，但難度不大．