【題目】如圖,拋物線yx2mx﹣(m+1)與x軸負半軸交于點Ax1,0),與x軸正半軸交于點Bx2,0)(OAOB),與y軸交于點C,且滿足x12+x22x1x213

1)求拋物線的解析式;

2)以點B為直角頂點,BC為直角邊作RtBCD,CD交拋物線于第四象限的點E,若ECED,求點E的坐標;

3)在拋物線上是否存在點Q,使得SACQ2SAOC?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1yx22x3;(2E點坐標為(,﹣);(3)點Q的坐標為(﹣3,12)或(2,﹣3).理由見解析.

【解析】

1)由根與系數(shù)的關系可得x1+x2m,x1x2=﹣(m+1),代入x12+x22x1x213,求出m12,m2=﹣5.根據OAOB,得出拋物線的對稱軸在y軸右側,那么m2,即可確定拋物線的解析式;

2)連接BEOE.根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BECDCE.利用SSS證明OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即點E在第四象限的角平分線上,設E點坐標為(m,﹣m),代入yx22x3,求出m的值,即可得到E點坐標;

3)過點QAC的平行線交x軸于點F,連接CF,根據三角形的面積公式可得SACQSACF.由SACQ2SAOC,得出SACF2SAOC,那么AF2OA2F1,0).利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣3x3.根據ACFQ,可設直線FQ的解析式為y=﹣3x+b,將F1,0)代入,利用待定系數(shù)法求出直線FQ的解析式為y=﹣3x+3,把它與拋物線的解析式聯(lián)立,得出方程組,求解即可得出點Q的坐標.

1)∵拋物線yx2mx﹣(m+1)與x軸負半軸交于點Ax1,0),與x軸正半軸交于點Bx20),

x1+x2m,x1x2=﹣(m+1),

x12+x22x1x213

∴(x1+x223x1x213,

m2+3m+1)=13

m2+3m100,

解得m12,m2=﹣5

OAOB,

∴拋物線的對稱軸在y軸右側,

m2,

∴拋物線的解析式為yx22x3;

2)連接BE、OE

∵在RtBCD中,∠CBD90°ECED,

BECDCE

yx22x30,解得x1=﹣1,x23,

A(﹣1,0),B3,0),

C0,﹣3),

OBOC,

又∵BECE,OEOE

∴△OBE≌△OCESSS),

∴∠BOE=∠COE,

∴點E在第四象限的角平分線上,

E點坐標為(m,﹣m),將Em,﹣m)代入yx22x3,

mm22m3,解得m,

∵點E在第四象限,

E點坐標為(,﹣);

3)過點QAC的平行線交x軸于點F,連接CF,則SACQSACF

SACQ2SAOC,

SACF2SAOC

AF2OA2,

F1,0).

A(﹣1,0),C0,﹣3),

∴直線AC的解析式為y=﹣3x3

ACFQ,

∴設直線FQ的解析式為y=﹣3x+b,

F1,0)代入,得0=﹣3+b,解得b3

∴直線FQ的解析式為y=﹣3x+3

聯(lián)立,

解得,,

∴點Q的坐標為(﹣3,12)或(2,﹣3).

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