Question

如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心、OA長為半徑作⊙O，⊙O經(jīng)過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K，過點D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H。

（1）求證：AE＝CK

（2）若AB＝a，AD＝a（a為常數(shù)），求BK的長（用含a的代數(shù)式表示）。

（3）若F是EG的中點，且DE＝6，求⊙O的半徑和GH的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3），6．

【解析】

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAE=∠BCK，

∵BK⊥AC，DH∥KB，

∴∠BKC=∠AED=90°，

∴△BKC≌△ADE，

∴AE=CK；

（3）連結(jié)OG，

∵AC⊥DG，AC是⊙O的直徑，DE=6，∴DE=EG=6，

又∵EF=FG，∴EF=3；

連接BG可得△BGF≌△AEF，AF=BF，△ADF≌△BHF

∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，

∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6．

考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．三角形中位線定理；4．垂徑定理．