Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為5cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿射線AB，BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為2cm/s．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABQ≌△CBP．

（2）連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ會(huì)變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）t=s時(shí)，△ABQ≌△CBP；

（2）結(jié)論∠CMQ=60°不變，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)△ABQ≌△CBP,利用全等三角形的性質(zhì)可得:BQ=BP,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度用含t的代數(shù)式表示出BQ和BP,列方程即可求解,

(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得:∠CMQ=∠CAM+∠ACM,根據(jù)△ABQ≌△CBP可得∠BAQ=∠ACM,等量代換可得∠CMQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60,故∠CMQ不變.

試題解析:（1）∵△ABQ≌△CBP,

∴BQ=BP,

∴2t=5﹣2t,

∴t=,

∴t=s時(shí),△ABQ≌△CBP,

（2）結(jié)論:∠CMQ=60°不變,

理由：∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,

又∵點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)速度相同，

∴AP=BQ,

在△ABQ與△CAP中,

∵,

∴△ABQ≌△CAP（SAS）,

∴∠BAQ=∠ACP,

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.