Question

【題目】圖①是一張∠AOB＝45°的紙片折疊后的圖形，P、Q分別是邊OA、OB上的點(diǎn)，且OP＝2cm．將∠AOB沿PQ折疊，點(diǎn)O落在紙片所在平面內(nèi)的C處(點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上)．

(1)當(dāng)PC∥QB時(shí)，OQ＝　 　cm．

(2)當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，畫出示意圖，寫出OQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)畫圖見解析，OQ的長(zhǎng)為2cm或cm或2cm．

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)得出∠O＝∠CPA，由折疊的性質(zhì)得出∠C＝∠O，OP＝CP，證出∠CPA＝∠C，得出OP∥QC，證出四邊形OPCQ是菱形，得出OQ＝OP＝2cm即可；

（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有3個(gè)；依據(jù)點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上，由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長(zhǎng)．

(1)當(dāng)PC∥QB時(shí)，∠O＝∠CPA，

由折疊的性質(zhì)得：∠C＝∠O，OP＝CP，

∴∠CPA＝∠C，

∴OP∥QC，

∴四邊形OPCQ是平行四邊形，

∴四邊形OPCQ是菱形，

∴OQ＝OP＝2cm；

故答案為：2；

(2)當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上時(shí)，則重疊部分即為△CPQ．

因?yàn)椤?/span>CPQ是由△OPQ折疊得到，所以當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，重疊部分必為等腰三角形．

分三種情況：

①當(dāng)PQ＝PO時(shí)，OQ＝OP＝2cm，

②當(dāng)QO＝QP時(shí)，OQ＝OP＝cm，

③當(dāng)OQ＝OP時(shí)，OQ＝OP＝2cm．

綜上所述：當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，OQ的長(zhǎng)為2cm或cm或2cm．