Question

（1997•貴陽）已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過P（0，8），A（2，-6），B（3，-10）這三點(diǎn)． 
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與x軸交于M和N兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趚軸上方圖象上找出點(diǎn)H，使面積S_△PMN=2S_△HMN．求H點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)P、A、B的坐標(biāo)分別代入已知函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的方程組，通過解方程組來求二次函數(shù)解析式；
（2）首先，根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，即△PMN的高線長(zhǎng)度為8；
然后，由三角形的面積公式、已知條件S_△PMN=2S_△HMN求得△HMN的高為4．故設(shè)圖象上H點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，4）；
最后，由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)H的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的圖象過P（0，8），A（2，-6），B（3，-10）三點(diǎn)，
∴

8=c -6=4a+2b+c -10=9a+3b+c

，
解得

a=1 b=-9 c=8

．
∴該二次函數(shù)解析式為：y=x²-9x+8；

（2）∵由（1）知，該二次函數(shù)解析式是y=x²-9x+8，則該拋物線與y軸的交點(diǎn)P（0，8）．
∴△PMN的高線長(zhǎng)度為8．
∵△HMN與△PMN的同底三角形，且S_△PMN=2S_△HMN．
∴△HMN的高為4．
設(shè)圖象上H點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，4）．
則4=a²-9a+8，
解得，a₁=

9- 65

2

，a₂=

9+ 65

2

，
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

9- 65

2

，4）或（

9+ 65

2

，4）．
答：H點(diǎn)的坐標(biāo)為（

9- 65

2

，4）或（

9+ 65

2

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和三角形的面積．熟練掌握二次函數(shù)圖象與x軸，y軸交點(diǎn)的意義．