Question

9．如圖，把兩個含有45°的三角尺如圖放置，∠ECD=ACB=90°，且AB=AE，連接AD交BE于點P，試說明：
（1）AD=BE；
（2）AD平分∠BAE．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△ECD為含45°的直角三角形，由此即可得出EC=DC、BC=AC，結(jié)合∠ECB=∠DCA=90°即可利用全等三角形的判定定理SAS證出△BCE≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由△BCE≌△ACD即可得出∠EBC=∠DAC，根據(jù)∠EBC+∠BEC=90°即可得出∠DAC+∠BEC=90°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出∠APE=90°，再利用等腰三角形的三線合一即可證出AD平分∠BAE．

解答 證明：（1）∵兩個含有45°的三角尺如圖放置，∠ECD=ACB=90°，
∴EC=DC，BC=AC．
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA=90°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠DAC．
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠BEC=90°，
∴∠APE=90°，即AP⊥BE．
又∵AB=AE，
∴AD平分∠BAE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定義等腰直角三角形以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS證出△BCE≌△ACD；（2）通過角的計算找出AP⊥BE．