Question

如圖，已知邊長為4的正方形ABCD中，E為CD中點(diǎn)，P為BE中點(diǎn)，F(xiàn)為AP中點(diǎn)，F(xiàn)H⊥AB交AB于H，連接PH．則下列結(jié)論正確的有（ ）
①BE=AE；②sin∠PAE=；③HP∥AE；④HF=1；⑤S_△AFC=1．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：利用全等的判定可判斷出①，利用反推法判斷②，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，也是利用反推法得出矛盾，從而判斷出③，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，利用中位線的知識可求出HP，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PL⊥BC于點(diǎn)L，則根據(jù)中位線的知識，可得出PM=2，PL=1，先求出S_△AFC，繼而可得出S_△ABC的值．
解答：解：（1）由于AD=BC，CE=DE，∠BCE=∠ADE，所以△DAE≌△CBE，BE=AE，所以①正確；
（2）由于△ABE不是等邊三角形而是等腰三角形，而P是BE中點(diǎn)，所以AP并不垂直于BP，BE=2EP，只有當(dāng)∠APE=90°時sin∠EAP=，但∠EPA并不等于90°，所以②不正確；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，

由于F是AP中點(diǎn)，則HF是△APM的一條中位線，即H是AM中點(diǎn)，不是AB中點(diǎn)，故HP不是△BAE的中位線，也就可得出HP不平行AE，所以③錯誤；
（4）過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，

由點(diǎn)P是BE中點(diǎn)可得PM是△BNE的中位線，PM=NE=2，（3）得出了HF是△APM的中位線，HF=PM，故可得HF=PM=1，故④正確；
（5）
過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PL⊥BC于點(diǎn)L，則根據(jù)中位線的知識，可得出PM=2，PL=1，從而求出S_△APC=S_△ABC-S_△ABP-S_△BPC=8-2-4=2，
再由AF=FP可得S_△AFC=S_△ABC=1，故⑤正確．
綜上可得①④⑤正確，共三個．
故選C．
點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練各個知識點(diǎn)的內(nèi)容，熟記一些基本定理，達(dá)到解題過程中，各個知識點(diǎn)融會貫通．