Question

【題目】如圖①所示，點(diǎn)將線段分成兩部分，如果，那么稱(chēng)點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類(lèi)似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱(chēng)直線為該圖形的黃金分割線．

問(wèn)題探究：

（1）研究小組猜想：在中，若點(diǎn)為上的黃金分割點(diǎn)，如圖②，則直線是的黃金分割線，你認(rèn)為呢？為什么？

（2）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接如圖③，則直線也是的黃金分割線，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

（3）如圖④，點(diǎn)是平行四邊形的邊的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，顯然直線是平行四邊形的黃金分割線，請(qǐng)你畫(huà)一條平行四邊形的黃金分割線，使它不經(jīng)過(guò)四邊形各邊黃金分割點(diǎn)．

（4）如圖⑤等腰梯形，請(qǐng)你畫(huà)出它的一條黃金分割線，使它不經(jīng)過(guò)各邊的黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）直線是的黃金分割線，理由見(jiàn)解析；（2）直線也是的黃金分割線，理由見(jiàn)解析；（3）直線就是平行四邊形的黃金分割線；（4）直線就是等腰梯形的黃金分割線．

【解析】

(1)若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)，則有=.如果設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式，易得=，=，即有=，根據(jù)圖形的黃金分割線的定義即可判斷；

(2)由于直線CD是△ABC的黃金分割線，所以=．要想說(shuō)明直線EF也是△ABC的黃金分割線，只需證明=，即證S△ADC=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC即可．因?yàn)?/span>DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，所以有S△DFC=S△DFE，所以S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC．

(3)根據(jù)黃金分割線的定義即可作出．本題答案不唯一，作法有無(wú)數(shù)種．

(4) 分別作出AB、CD的黃金分割點(diǎn)E、F，在FC上取一點(diǎn)N，連接EN，再過(guò)點(diǎn)F作FM//NE交AB于點(diǎn)M，連接MN即可.

解：（1）設(shè)邊上的高為，

∵，，，

∴，，

∵點(diǎn)為上的黃金分割點(diǎn)，

∴，

∴，

∴直線是的黃金分割線；

（2）∵，

∴和的公共邊上的高也相等，

∴，

如圖③，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∴直線也是的黃金分割線；

（3）如圖④，在上取一點(diǎn)，連接，再過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

則直線就是平行四邊形的黃金分割線；

（4）如圖⑤，分別作出、的黃金分割點(diǎn)、，在上取一點(diǎn)，連接，再過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

則直線就是等腰梯形的黃金分割線．

故答案為：（1）直線是的黃金分割線，理由見(jiàn)解析；（2）直線也是的黃金分割線，理由見(jiàn)解析；（3）直線就是平行四邊形的黃金分割線；（4）直線就是等腰梯形的黃金分割線．