如圖,已知邊長為4的正方形ABCD,E為BC的中點,連接AE、DE,BD、AE交BD于F,連接CF交DE于G,P為DE的中點,連接AP、FP,下列結論:①DE⊥CF;②;③∠EAP=30°;④△FGP為等腰直角三角形.
其中正確結論的個數(shù)有( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
【答案】分析:根據已知得出首先證明△ABF≌△CBF,得出∠FCB=∠EDC,進而求出∠EGC=90°,再利用△CFM∽△PEQ,得出FM=,進而求出S△BCD-S△BFE的面積即可得出答案,再利用等腰直角三角形的知識分析得出答案.
解答:解:作FM⊥BC,
∵∠ABF=∠FBC=45°,
AB=BC,BF=BF,
∴△ABF≌△CBF,
∴∠BAF=∠BCF,
∵邊長為4的正方形ABCD,E為BC的中點,
∴AB=CD,BE=CE,∠ABE=∠DCE,
∴△ABE≌△DCE,
∴∠BAE=∠EDC,
∴∠FCB=∠EDC,
∵∠DEC+∠EDC=90°,
∴∠DEC+∠BCF=90°
∴∠EGC=90°,
∴DE⊥CF,故①DE⊥CF正確;
∵△CFM∽△PEQ,

∵MC=4-BM,BM=FM,PQ=2,EQ=1,
∴FM=,
∴S△BCD-S△BFE=8-×2×=;故②正確;
,
CF×DE=×2×CF=
∴CF=,
∵∠EGC=∠ECD=90°,∠GEC=∠GEC,
∴△CEG∽△DEC,
,
∵邊長為4的正方形ABCD,E為BC的中點,
∴EC=2,DE=2
==,
∴EG=,CG=,
∴FG=,PG=-=
∴FG≠PG,
∴根據已知可得∠FPG≠∠PFG,
∴④△FGP為等腰直角三角形錯誤.
∵P為DE的中點,
∴PE=DP=,
∴BE=EC=2,AB=CD,
∴△ABE≌△DCE,
∴AE=DE,
∴△AED為等腰三角形不是等邊三角形,
∵P為DE的中點,
∴AP不垂直于DE,
=
∴∠EAP≠30°,故③不正確;
其中正確結論的個數(shù)有2個,
故選:B.
點評:此題主要考查了相似三角形的性質與判定以及全等三角形的判定的知識,重點在于對三角形各個性質的理解.主要用到的有中點,中位線的性質.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知邊長為4的正方形ABCD中,E為AD中點,P為CE中點,F(xiàn)為BP中點,F(xiàn)H⊥BC交BC于H,連接PH,則下列結論正確的是(  )
①BE=CE;②sin∠EBP=
1
2
;③HP∥BE;④HF=1;⑤S△BFD=1.
A、①④⑤B、①②③
C、①②④D、①③④

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A、10
3
-15
B、10-5
3
C、5
3
-5
D、20-10
3

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精英家教網如圖,已知邊長為2的正三角形ABC中,P0是BC邊的中點,一束光線自P0發(fā)出射到AC上的點P1后,依次反射到AB、BC上的點P2和P3(反射角等于入射角),且1<BP3
3
2
,則P1C長的取值范圍是( 。
A、1<P1C<
7
6
B、
5
6
<P1C<1
C、
3
4
<P1C<
4
5
D、
7
6
<P1C<2

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