Question

【題目】如圖△AOB和△ACD是等邊三角形，其中AB⊥x軸于E點(diǎn)．

（1）如圖，若OC=5，求BD的長度；

（2）設(shè)BD交x軸于點(diǎn)F，求證：∠OFA=∠DFA；

（3）如圖，若正△AOB的邊長為4，點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊在直線AC下方作正△ACD，連接ED，求ED的最小值.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）1.

【解析】試題分析：（1）先由等邊三角形的性質(zhì)得出 進(jìn)而得出 即可判斷出≌即可得出結(jié)論；
（2）借助（1）得出的≌，得出 進(jìn)而求出 再判斷出， ≌即可求出

（3）如圖3中，連接DB并延長至點(diǎn)N，由≌（SAS），推出,推出則D點(diǎn)在直線BN上運(yùn)動(dòng)，過E作EH⊥DN于點(diǎn)H，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至H時(shí)，ED最��；

試題解析：(1)∵點(diǎn)C(5,0).

∴OC=5，

∵△AOB和△ACD是等邊三角形，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中,

∴≌，

∴BD=OC=5；

(2)∵△AOB是等邊三角形，且AB⊥x軸于E點(diǎn)，

∴∠AOE=∠BOE=30，

由(1)知, ≌.

在△AOF和△BOF中,

∴≌.

根據(jù)平角的定義得,

∴∠OFA=∠DFA；

（3）如圖3中，連接并延長至點(diǎn)，

易證： ≌（SAS），

則D點(diǎn)在直線BN上運(yùn)動(dòng)

過E作于點(diǎn)H，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至H時(shí)，ED最小,

此時(shí)，