Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC的平分線與AC相交于點(diǎn)D，與⊙O過點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E．
（1）∠ACB=______°，理由是：______；
（2）猜想△EAD的形狀，并證明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上利用直徑所對的圓周角是直角即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)∠ABC的平分線與AC相交于點(diǎn)D，得到∠CBD=∠ABE，再根據(jù)AE是⊙O的切線得到∠EAB=90°，從而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代換得到∠AED=∠EDA，從而判定△EAD是等腰三角形．
（3）證得△CDB∽△AEB后設(shè)BD=5x，則CB=4x，CD=3x，從而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC²+BC²=AB²得到（3x+6）²+（4x）²=8²解得x后即可求得BD的長．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）

（2）△EAD是等腰三角形．
證明：∵∠ABC的平分線與AC相交于點(diǎn)D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切線，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．

（3）解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴===
∴設(shè)CB=4x，CD=3x則BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC²+BC²=AB²
即：（3x+6）²+（4x）²=8²，
解得：x=-2（舍去）或x=
∴BD=5x=
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合知識，題目中涉及到了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，難度中等偏上．