Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分線，P是射線AC上任意一點（不與A、D、C三點重合），過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，交直線BD于E．
（1）如圖，當點P在線段AC上時，說明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPQ的角平分線交直線AB于點F，則PF與BD有怎樣的位置關(guān)系？畫出圖形并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PQ⊥AB，

∴∠EQB=∠C=90°，

∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，

∵BD為∠ABC的平分線，

∴∠CBD=∠EBQ，

∵∠PED=∠BEQ，

∴∠PDE=∠PED

（2）解：當P在線段AC上時，如圖1所示，此時PF∥BD，

理由為：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PF為∠CPQ的平分線，∠CPQ為△PDE的外角，

∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，

∴PF∥BD；

當P在線段AC延長線上時，如圖2所示，PF⊥BD，

理由為：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PM為∠CPQ的平分線，

∴PF⊥BD

【解析】（1）由PQ與AB垂直，得到一對直角相等，理由直角三角形的兩銳角互余得到兩對角互余，再BD為角平分線，利用角平分線定義得到一對角相等，再由對頂角相等，利用等量代換即可得證；（2）分兩種情況，當P在線段AC上時，如圖1所示，可得出PF與BD平行，由第一問的結(jié)論利用等角對等邊得到PD=PE，利用角平分線定義及外角性質(zhì)得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得證；當P在AC延長線時，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三線合一即可得證．
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定和三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識點，需要掌握同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能正確解答此題．