Question

如圖，已知頂點為H的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比3：2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與直線AE交于點N，與x軸相交于點F，點P為對稱軸右側拋物線上一點，且S_△PDN=4S_△HDN，求點P的坐標；
（3）將拋物線向下平移n個單位后，其頂點為M，當∠AME≥90°時，求n的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)底邊相等的三角形的面積的比等于高的比求出OC的長，求出點C的坐標，再根據(jù)中點定義求出點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，再求出點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點H的坐標，再求出點N的坐標，根據(jù)底邊相等的三角形的面積的比等于對應高的比求出點P到DN的距離等于點H到DN的距離的4倍，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出過點P平行于AE的直線與對稱軸交點到點N的距離為5，即為點F，再求出直線PF的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求解即可；
（3）過點E作EG⊥MF于G，分①點M在點G上方時，利用△MEG和△AMF相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出MF，再根據(jù)n=FH-MF求出向下平移的最小距離；②點M在點G下方時，利用△AMF和△MEG相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出MF，再根據(jù)n=FH+MF求出向下平移的最大距離，然后寫出n的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵△ABE與△ABC的面積之比3：2，點E（2，6），
∴OC=

6

3

×2=4，
∴點C的坐標為（0，4），
∵D為OC的中點，
∴點D的坐標為（0，2），
設直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2k+b=6 b=2

，
解得

k=2 b=2

，
∴直線AE的解析式為y=2x+2，
令y=0，則2x+2=0，
解得x=-1，
∴點A（-1，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），C（0，4），E（2，6），
∴

a-b+c=0 c=4 4a+2b+c=6

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+3x+4；

（2）∵y=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴拋物線的頂點H的坐標為（

3

2

，

25

4

），
∵y=2×

3

2

+2=5，
∴點N的坐標為（

3

2

，5），
∵S_△PDN=4S_△HDN，
∴點P到DN的距離等于點H到DN的距離的4倍，
∵HN=

25

4

-5=

5

4

，

5

4

×4，
∴過點F平行于直線AE的直線與拋物線的交點即為點P，
設直線PF的解析式為y=2x+b，
則2×

3

2

+b=0，
解得b=-3，
∴直線PF的解析式為y=2x-3，
聯(lián)立

y=2x-3 y=-x2+3x+4

，
解得

x1= 1+ 29 2 y1= 29 -2

，

x2= 1- 29 2 y2=- 29 -2

，
∵點P為對稱軸右側拋物線上一點，
∴點P的坐標為（

1+ 29

2

，

29

-2）；

（3）如圖，過點E作EG⊥MF于G，
①點M在點G上方時，由∠AME=90°易得△MEG∽△AMF，
∴

MG

AF

=

EG

MF

，
即

MF-6

1+ 3 2

=

2- 3 2

MF

，
整理得，4MF²-24MF-5=0，
解得MF₁=

6+ 41

2

，MF₂=

6- 41

2

（舍去），
∴向下平移的最小距離n=FH-MF=

25

4

-

6+ 41

2

=

13-2 41

4

，
②點M在點G下方時，由∠AME=90°易得△AMF∽△MEG，
∴

MG

AF

=

EG

MF

，
即

MF+6

1+ 3 2

=

2- 3 2

MF

，
整理得，4MF²+24MF-5=0，
解得MF₁=

-6+ 41

2

，MF₂=

-6- 41

2

（舍去）
∴向下平移的最大距離n=FH+MF=

25

4

+

-6+ 41

2

=

13+2 41

4

，
綜上所述，當∠AME≥90°時，n的取值范圍是

13-2 41

4

≤m≤

13+2 41

4

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了三角形的面積，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（2）利用三角形的面積和平行線分線段成比例定理求出過點P與AE平行的直線經(jīng)過點F是解題的關鍵，（3）作輔助線并根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出平移的最大距離和最小距離是解題的關鍵．