Question

當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：先計(jì)算出△并且設(shè)△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4=n²（n為整數(shù)），整系數(shù)方程有有理根的條件是△為完全平方數(shù)．解不定方程，討論m的存在性．變形為（2m-1）²-n²=4，（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，利用m，n都為整數(shù)進(jìn)行討論即可．

解答：解：當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0沒有有理根．理由如下：
①當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，假設(shè)關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0有有理根，則要△=b²-4ac為完全平方數(shù)，而△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4，
設(shè)△=n²（n為整數(shù)），即（2m-1）²+4=n²（n為整數(shù)），所以有（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，
∵2m-1與n的奇偶性相同，并且m、n都是整數(shù)，所以

2m-1-n=2 2m-1+n=-2

或

2m-1-n=-2 2m-1+n=2

，
解得m=

1

2

或m=-

1

2

（都不合題意舍去）．
②2m-1=0時(shí)，m=

1

2

（不合題意舍去）．
所以當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0沒有有理根．

點(diǎn)評(píng)：考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判別式為△=b²-4ac．△=b²-4ac為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件．同時(shí)考查了不定方程特殊解的求法．