Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D是拋物線 的頂點(diǎn)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）若M為對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)，且DM=2AM，求拋物線表達(dá)式；

（3）當(dāng)30°<∠ADM<45°時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（－1,0），B（3,0）．（2）拋物線的表達(dá)式為．（3）<a<．

【解析】

（1）解關(guān)于x的方程，結(jié)合點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，即可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）由（1）中結(jié)果易得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-4a），由此可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），AM=2，這樣結(jié)合DM=2AM即可得到關(guān)于a的方程，解方程求得a的值即可求得此時(shí)拋物線的解析式；

（3）畫出圖形如下圖所示，由∠ADM=30°和∠ADM=45°可得和AM=DM，結(jié)合（2）中所得AM=2，MD=0-(-4a)=4a即可得到對(duì)應(yīng)的關(guān)于a的方程，解方程即可求得對(duì)應(yīng)的a的值.

（1）令y=0，得，

解得，x2=3．

∴A（－1,0），B（3,0）．

（2）∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（－1，0），B（3，0），

∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，

∴AM=2，

∵DM=2AM，

∴DM=4．

∵當(dāng)x=1時(shí)，y=-4a，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4a），

∴0-（-4a）=4，解得a=1，

∴拋物線的表達(dá)式為；

（3）圖下圖所示，

當(dāng)∠ADM=45°時(shí)，由題意可得AM=DM，

∵AM=2，DM=0-(-4a)=4a，

∴4a=2，解得：；

當(dāng)∠ADM=30°時(shí)，由題意易得，

∵AM=2，DM=0-(-4a)=4a，

∴，解得：.

綜上可得當(dāng)30°<∠ADM<45°時(shí)，.