Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+mx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸直線x=交x軸于點(diǎn)D．

（1）求m的值；

（2）在拋物線的對稱軸上找出點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，與x軸相交于點(diǎn)H，連接CF、BF、OE，當(dāng)四邊形CDBF的面積最大時(shí)，請你說明四邊形OCFE的形狀．

Answer 1

【答案】（1）（2）P1（，），P2（，﹣），P3（，4）（3）平行四邊形

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)對稱軸公式，可得m的值；

（2）根據(jù)等腰三角形的定義，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得EF的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得n的值，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案．

試題解析：（1）∵對稱軸是直線x=，

∴﹣=，

∴m=；

（2）由勾股定理，得

CD=，當(dāng)CD=DP=時(shí)，P（，），（，﹣），

當(dāng)CD=CP時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，b），

∴=，

解得b=4，P（，4），

綜上所述：P1（，），P2（，﹣），P3（，4）；

（3）四邊形OCFE是平行四邊形，

由拋物線y=﹣x2+x+2，

令y=0，﹣ x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0），A（﹣1，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即C（0，2），

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入，得

，解得，

直線BC解析式為y=﹣x+2．

點(diǎn)F在拋物線上，設(shè)F的坐標(biāo)為（n，﹣ n2+n+2），

點(diǎn)E在BC上，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，﹣ n+2），

EF=FH﹣EH=﹣n2+2n，

∵，

=BD·CO=×（4﹣1.5）×2=， =EF·OB=×4×（﹣n2+2n）=﹣n2+4n，

=﹣n2+4n+=﹣（n﹣2）2+，

當(dāng)n=2時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，此時(shí)EF=﹣n2+2n=2，EH=﹣n+2=1，OH=2，OE==．

∵OC=EF=2，OC∥EF，

∴四邊形OCFE是平行四邊形．