Question

閱讀以下材料：
對于三個數(shù)a、b、c，用M（a，b，c）表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min（a，b，c）表示這三個數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{-1，2，3}=

-1+2+3

3

=

4

3

；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2，a}=a（a≤-1）；-1（a＞-1）
解決下列問題：
（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=

 

，如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為

 

≤x≤

 

；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．
②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么

 

（填a，b，c的大小關(guān)系）”，
證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
③運用②的結(jié)論，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，則x+y=

 

；
（3）在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x+1，y=（x+1）²，y=2-x的圖象（不需列表描點），通過觀察圖象，填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值為

 

．

Answer 1

分析：（1）因為用min（a，b，c）表示這三個數(shù)中最小的數(shù)．分別計算sin30°，cos45°，tan30°的值，因為sin30°最小，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}=sin30度；
（2）結(jié)合題意，分情況討論，將實際問題與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出算式或一元一次不等式組即可求解；
（3）作出正確的圖象，是解題的關(guān)鍵．

解答：解：（1）min{sin30°，cos45°，tan30°}=

1

2

，
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為0≤x≤1；

（2）①∵M(jìn){2，x+1，2x}=

2+x+1+2x

3

=x+1．
法一：∵2x-（x+1）=x-1．當(dāng)x≥1時，
則min{2，x+1，2x}=2，則x+1=2，
∴x=1．當(dāng)x＜1時，
則min{2，x+1，2x}=2x，則x+1=2x，
∴x=1（舍去）．
綜上所述：x=1．
法二：∵M(jìn){2，x+1，2x}=

2+x+1+2x

3

=x+1=min{2，x+1，2x}，
∴

2≥x+1 2x≥x+1

∴

x≤1 x≥1

∴x=1．
②a=b=c．
證明：∵M(jìn){{a，b，c}}=

a+b+c

3

，如果min{a，b，c}=c，則a≥c，b≥c．則有

a+b+c

3

=c，
即a+b-2c=0．
∴（a-c）+（b-c）=0．
又a-c≥0，b-c≥0．
∴a-c=0且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情況同理可證，故a=b=c．
③-4；

（3）作出圖象．
最大值是1．

點評：解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．