【題目】如圖,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=3,AB=4,點(diǎn)P為射線BC上一動點(diǎn),以P為圓心,BP長為半徑作⊙P,交射線BC于點(diǎn)Q,聯(lián)結(jié)BD、AQ相交于點(diǎn)G,⊙P與線段BD、AQ分別相交于點(diǎn)E、F.
(1)如果BE=FQ,求⊙P的半徑;
(2)設(shè)BP=x,FQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)聯(lián)結(jié)PE、PF,如果四邊形EGFP是梯形,求BE的長.
【答案】(1)⊙P的半徑為;(2)x的取值范圍為;(3)BE=或.
【解析】
(1)由題意BE=FQ可得∠BPE=∠FPQ,進(jìn)而可得∠EBP=∠FQP.又AD∥BC,故∠ADB=∠EBP,即∠FQP=∠ADB,故兩角的正切值相等即可求出半徑.
(2)要求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可通過過P點(diǎn)做垂線PM,將QM用含x的式子表示,利用QM=PQcos∠AQB=,而FQ=2QM,即;根據(jù)題意圓與D點(diǎn)相交時,x最大,可求出x的取值范圍;
(3)根據(jù)題意四邊形EGFP是梯形,由于P點(diǎn)是動點(diǎn)所以產(chǎn)生兩種情況,當(dāng)GF∥EP時和GE∥FP時,故應(yīng)進(jìn)行分類討論.①當(dāng)GF∥EP時,可發(fā)現(xiàn)PE為△BGQ的中點(diǎn),根據(jù)線段關(guān)系可求得BP的長度,因為△BGQ和△DGA相似,故有,可求得BG=,所以BE=BG.②當(dāng)GE∥FP時,過點(diǎn)P作PN⊥BG ,跟①同理,可求得BE=2BN.
(1)∵BE=FQ,
∴∠BPE=∠FPQ,
∵PE=PB,
∴∠EBP=(180°﹣∠EPB),
同理∠FQP=(180°﹣∠FPQ),
∴∠EBP=∠FQP,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠EBP,
∴∠FQP=∠ADB,
∴tan∠FQP=tan∠ADB=,
設(shè)⊙P的半徑為r,則tan∠FQP=,
∴,
解得:r=,
∴⊙P的半徑為;
(2)過點(diǎn)P作PM⊥FQ,垂足為點(diǎn)M,如圖1所示:
在Rt△ABQ中,cos∠AQB=,
在Rt△PQM中,QM=PQcos∠AQB=,
∵PM⊥FQ,PF=PQ,
∴FQ=2QM=,
∴,
當(dāng)圓與D點(diǎn)相交時,x最大,作DH⊥BC于H,如圖2所示:
則PD=PB=x,DH=AB=4,BH=AD=3,
則PH=BP﹣BH=x﹣3,
在Rt△PDH中,由勾股定理得:42+(x﹣3)2=x2,
解得:x=,
∴x的取值范圍為:0<x≤;
(3)設(shè)BP=x,分兩種情況:
①EP∥AQ時,
∴∠BEP=∠BGQ,
∵PB=PE,
∴∠PBE=∠BEP,
∴∠BGQ=∠PBE,
∴QG=QB=2x,
同理:AG=AD=3,
在Rt△ABQ中,由勾股定理得:42+(2x)2=(3+2x)2,
解得:x=,
∴QG=QB=2x=,
∵EP∥AQ,PB=PQ,
∴BE=EG,
∵AD∥BC,
∴,
即,
解得:BG=,
∴BE=BG=;
②PF∥BD時,同①得:BG=BQ=2x,DG=AD=3,
在Rt△ABD中,由勾股定理得:42+32=(3+2x)2,
解得:x=1或x=﹣4(舍去),
∴BQ=2,
∴BP=1,
作PN⊥BG于N,則BE=2BN,如圖3所示:
∵AD∥BC,
∴∠PBN=∠ADB,
∴cos∠PBN=cos∠ADB=,即=,
∴BN=,
∴BE=2BN=;
綜上所述,BE=或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:正方形中,,繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交(或它們的延長線)于點(diǎn).
當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(如圖1),易證.
(1)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(如圖2),線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出猜想,并加以證明.
(2)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時,線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn),直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A,與這條拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M(1,2),且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C,已知P(x,y)為線段AC上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)Q.求線段PQ的最大值及此時P坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,求△AQC面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=4,tanB=2,以AB的中點(diǎn)D為圓心,r為半徑作⊙D,如果點(diǎn)B在⊙D內(nèi),點(diǎn)C在⊙D外,那么r可以。ā 。
A.2B.3C.4D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線:y=-x(x-3)(0≤x≤3),記為C1,它與x軸交于兩點(diǎn)O,A1;將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3,過拋物線C1,C3頂點(diǎn)的直線與C1、C2、C3圍成的如圖中的陰影部分,那么該面積為_____________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是原點(diǎn),兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.
(1)以點(diǎn)為位似中心,在軸的左側(cè)將擴(kuò)大為原來的兩倍(即新圖與原圖的相似比為),畫出圖形,并寫出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如果內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為,寫出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)A(0,6),點(diǎn)B在x軸的正半軸上.若點(diǎn)P,Q在線段AB上,且PQ為某個一邊與x軸平行的矩形的對角線,則稱這個矩形為點(diǎn)P,Q的“X矩形”.下圖為點(diǎn)P,Q的“X矩形”的示意圖.
(1)若點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,則點(diǎn)B,C的“X矩形”的面積為___.
(2)點(diǎn)M,N的“X矩形”是正方形,
①當(dāng)此正方形面積為4,且點(diǎn)M到y軸的距離為3時,寫出點(diǎn)B的坐標(biāo),點(diǎn)N的坐標(biāo).
②當(dāng)此正方形的對角線長度為3,且半徑為r的⊙O與它沒有交點(diǎn),直接寫出r的取值范圍___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2-4x-3,下列說法中正確的是( )
A.該函數(shù)圖象的開口向下B.該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-7)
C.當(dāng)x<0時,y隨x的增大而增大D.該函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),且分布在坐標(biāo)原點(diǎn)兩側(cè)
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