【題目】如圖,已 知直線(xiàn)交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn),以線(xiàn)段為邊向上作正方形,過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)另一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線(xiàn)的解析式;
(3)若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)下滑,直至頂點(diǎn)落在x軸上時(shí)停止.設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為,求關(guān)于滑行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)自變量的取值范圍;
(4)在(3)的條件下,拋物線(xiàn)與正方形一起平移,同時(shí)停止,求拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積.
【答案】(1)C(3,2)D(1,3);
(2)y=-x2+x+1
(3)當(dāng)0<t≤1時(shí),S△FB′G=FB′×GB′=t=t2
當(dāng)1<t≤2時(shí),S梯形A′B′HG =t-;
2<t≤3時(shí),S五邊形GA′B′C′H=-t2+t-
(4)15.
【解析】
(1)可先根據(jù)AB所在直線(xiàn)的解析式求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),即可得出OA、OB的長(zhǎng).過(guò)D作DM⊥y軸于M,則△ADM≌△BAO,由此可得出MD、MA的長(zhǎng),也就能求出D的坐標(biāo),同理可求出C的坐標(biāo);
(2)可根據(jù)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式;
(3)要分三種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)F點(diǎn)在A′B′之間時(shí),即當(dāng)0<t≤1時(shí),此時(shí)S為三角形FBG的面積,可用正方形的速度求出AB′的長(zhǎng),即可求出B′F的長(zhǎng),然后根據(jù)∠GFB′的正切值求出B′G的長(zhǎng),即可得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式.
②當(dāng)A′在x軸下方,但C′在x軸上方或x軸上時(shí),即當(dāng)1<t≤2時(shí),S為梯形A′GB′H的面積,可參照①的方法求出A′G和B′H的長(zhǎng),那么梯形的上下底就可求出,梯形的高為A′B′即正方形的邊長(zhǎng),可根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式.
③當(dāng)D′逐漸移動(dòng)到x軸的過(guò)程中,即當(dāng)2<t≤3時(shí),此時(shí)S為五邊形A′B′C′HG的面積,S=正方形A′B′C′D′的面積-三角形GHD′的面積.可據(jù)此來(lái)列關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)CE掃過(guò)的圖形是個(gè)平行四邊形,經(jīng)過(guò)關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積實(shí)際上就是矩形BCD′A′的面積.可通過(guò)求矩形的面積來(lái)求出CE掃過(guò)的面積.
(1)C(3,2)D(1,3);
(2)設(shè)拋物線(xiàn)為y=ax2+bx+c,拋物線(xiàn)過(guò)(0,1)(3,2)(1,3),
解得
y=-x2+x+1
(3)①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí),t=1,
當(dāng)0<t≤1時(shí),如圖1,
∵∠OFA=∠GFB′,
tan∠OFA==
∴tan∠GFB′===
∴GB′=
∴S△FB′G=FB′×GB′=t=t2
②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí),t=2,
當(dāng)1<t≤2時(shí),如圖2,
A′B′=AB==
,
∴A′G=
∵B′H=
∴S梯形A′B′HG=(A′G+B′H)×A′B′= (+)×=t-;
③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí),t=3,
當(dāng)2<t≤3時(shí),如圖3,
∵A′G=
∴GD′=-=,
∵S△AOF=×1×2=1,OA=1,△AOF∽△GD′H
∴=()2
∴S△GD′H=()2,
∴S五邊形GA′B′C′H=()2-()2=-t2+t-;
(4)∵t=3,BB′=AA′=3,
∴S陰影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D
=AD×AA′=×3=15.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知,是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△的面積;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=12,AM,BN是⊙O的兩條切線(xiàn),DC切⊙O于E,交BN于C,設(shè)AD=x,BC=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若x,y是2t2-30t+m=0的兩實(shí)根,求x,y的值;
(3)求△OCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如果一元二次方程滿(mǎn)足,那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程,且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則下列結(jié)論正確的是 ( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.
經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的解題思路:在AB上截取BM=BE,連接ME,則AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:
(1)小穎提出:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)小華提出:如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立。你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表給出了代數(shù)式x2+bx+c與x的一些對(duì)應(yīng)值:
(1)請(qǐng)?jiān)诒韮?nèi)的空格中填入適當(dāng)?shù)臄?shù);
(2)設(shè)y=x2+bx+c,則當(dāng)x取何值時(shí),y<0;
(3)請(qǐng)說(shuō)明經(jīng)過(guò)怎樣平移函數(shù)y=x2+bx+c的圖象得到函數(shù)y=x2的圖象?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀理解下面的例題,再按要求解答下列問(wèn)題:
例題:求代數(shù)式y2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4
∵(y+2)2≥0
∴(y+2)2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代數(shù)式m2+m+4的最小值;
(2)求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值;
(3)某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)15m)的空地上建一個(gè)長(zhǎng)方形花園ABCD,花園一邊靠墻,另三邊用總長(zhǎng)為20m的柵欄圍成.如圖,設(shè)AB=x(m),請(qǐng)問(wèn):當(dāng)x取何值時(shí),花園的面積最大?最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A(﹣3,m+8),B(n,﹣6)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線(xiàn)形,左右兩個(gè)拋物線(xiàn)形是全等的.正常水位時(shí),大孔水面寬度為,頂點(diǎn)距水面,小孔頂點(diǎn)距水面.當(dāng)水位上漲剛好淹沒(méi)小孔時(shí),大孔的水面寬度為________.
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