Question

如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長線段），O為AB的中點，P為AC延長線上的一個動點，線段PB的垂直平分線交線段OC于點E，D為垂足，當(dāng)P點運動時，給出下列四個結(jié)論，其中正確的個數(shù)是（ ）
①E為△ABP的外心；②∠PEB=90°；③PC•BE=OE•PB；④CE+PC=．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①由于外心是三角形三邊中垂線的交點，顯然點E是AB、BP兩邊中垂線的交點，因此符合△ABP外心的要求，故①正確；
②此題要通過①的結(jié)論來求，連接AE，根據(jù)三角形的外心的性質(zhì)可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進行求解即可；
③此題顯然要通過相似三角形來求解，由于OA=OB，那么可通過證△OEB∽△CPB來判斷③的結(jié)論是否正確；
④此題較簡單，過E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=CE，因此所求的結(jié)論可轉(zhuǎn)化為證PM是否為定值，觀察圖形，可通過證△PEM、△BEC是否全等來判斷．
解答：解：①∵CO為等腰Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E點是AB、BP兩邊中垂線的交點，
∴E點是△ABP的外心，故①正確；
②如圖，連接AE；
由①知：AE=EP=EB，則∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形內(nèi)角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正確；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，
∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：，即PC•BE=OE•PB，故③正確；
④過E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC=AB，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190432236551216/SYS201311011904322365512009_DA/6.png">AB，故④正確；
因此正確的結(jié)論是①②③④，
故選D．
點評：本題考查了三角形外心的性質(zhì)，線段中垂線性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似的判定，三角形全等的判定．此題為幾何綜合題，涉及較多的平面圖形的性質(zhì)，要求學(xué)生具備較強的分析問題、解決問題的能力，特別③、④兩個結(jié)論的判別，有較大難度．此題可作為優(yōu)秀學(xué)生的選拔．