Question

如圖，等腰梯形ABCD的BC邊位于x軸上，A點位于y軸上，∠ABC=45°，BD平分AO（O為坐標原點），并且B（-1，0）．
（1）求過點A、B、C的拋物線的解析式；
（2）P為（1）中拋物線上異于B的一點，過B、P兩點的直線將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，求P點的坐標；
（3）在（1）中拋物線上是否存在點Q使△ABQ為直角三角形？若存在，求△ABQ的面積；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B點的坐標可以求出OB的長度，通過解直角三角形可以AO的長度而求出A點的坐標及AB的長度，然后求出AD的長度根據(jù)解直角三角形求出C點的坐標，最后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）如圖根據(jù)條件中的面積關(guān)系求出△BCE的BC邊上的高，即知道E點的總坐標，再 根據(jù)C、D的坐標求出CD的解析式，利用E點的縱坐標求出E點的坐標，再求出直線BE的解析式，最后代入拋物線的解析式求出P點坐標．
（3）如圖分為兩種情況使△ABQ為直角三角形，利用三角形的角的特殊關(guān)系45°求出線段的長度，從而求出Q點的坐標，根據(jù)Q點的坐標求出△ABQ的面積．BO，BD平分

解答：解：（1）∵AD∥BO，BD平分AO
∴AD=BO
∵等腰梯形ABCD的∠ABC=45°
∴OC=2OB，OA=OB
即A（0，1），B（-1，0），C（2，0）
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-2），把A（0，1）代入得，a=-

1

2

∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x2+

1

2

x+1；

（2）設(shè)直線BP交CD于E（m，n），由題意知2S_△BEC=S_梯形ABCD
∴2×

3m

2

=

(1+3)×1

2

∴n=

2

3

用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為：y=-x+2
把E點的坐標代入CD的解析式得m=

4

3

∴E（

4

3

，

2

3

）
用待定系數(shù)法求出BE的解析式為y=

2

7

x+

2

7

，
與拋物線的解析式y(tǒng)=-

1

2

x2+

1

2

x+1建立方程組求得

x= 10 7 y= 34 49

∴P（

10

7

，

34

49

）

（3）存在
①當(dāng)∠BAQ=90°時，如圖，AQ與x軸交于F，做QH⊥x軸于H，設(shè)Q（m，t）
∴△ABF、△QHF都為等腰直角三角形
∴F（1，0），QH=FH，即-t=m-1，t=-

1

2

m²+

1

2

m+1，求得m=3
∴QH=FH=2
∴AQ=AF+FQ=3

2

∴S_△ABQ=

2×1

2

+

2×2

2

=3
②當(dāng)∠ABQ=90°時，作QG⊥x軸于G，設(shè)Q（a，b）
∴△QGB為等腰直角三角形
∴QG=BG，即-b=a+1
∵b=-

1

2

a²+

1

2

a+1，
解得a=4，
∴BG=5，BQ=5

2

∴S_△ABQ=

5 2 × 2

2

=5
綜上所述，S_△ABQ=3或5．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，直線函數(shù)與拋物線的交點坐標，三角形的面積的計算多個知識點．