Question

（2013•平涼）如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=x²+（2k-1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標；
（3）對于（2）中的點B，在此拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將原點坐標代入拋物線中即可求出k的值，也就得出了拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標，也就求出了OA的長，根據(jù)△OAB的面積可求出B點縱坐標的絕對值，然后將符合題意的B點縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標，然后根據(jù)B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可．
（3）根據(jù)B點坐標可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點的坐標特點，代入二次函數(shù)解析式可得出P點的坐標．求△POB的面積時，可先求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積．

解答：解：①∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，
∴0=k+1，
∴k=-1，
∴y=x²-3x，

②假設存在點B，過點B做BD⊥x軸于點D，
∵△AOB的面積等于6，
∴

1

2

AO•BD=6，
當0=x²-3x，
x（x-3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
 即4=x²-3x，
 解得：x=4或x=-1（舍去）．
又∵頂點坐標為：（ 1.5，-2.25）．
∵2.25＜4，
∴x軸下方不存在B點，
∴點B的坐標為：（4，4）；

③∵點B的坐標為：（4，4），
∴∠BOD=45°，BO=

42+42

=4

2

，
當∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
設P點橫坐標為：x，則縱坐標為：x²-3x，
即-x=x²-3x，
解得x=2 或x=0，
∴在拋物線上僅存在一點P （2，-2）．
∴OP=

22+22

=2

2

，
使∠POB=90°，
∴△POB的面積為：

1

2

PO•BO=

1

2

×4

2

×2

2

=8．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、圖象面積求法等知識．利用已知進行分類討論得出符合要求點的坐標是解題關鍵．