Question

若x²-4x+1=0的兩根為a，b，則a⁵+b⁵=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出ab與a+b的值，再根據(jù)a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²求出a⁴+b⁴的值，根據(jù)a³+b³=（a+b）（a²+b²）-ab²-a²b求得a³+b³的值，然后根據(jù)a⁵+b⁵=（a+b）（a⁴+b⁴）-ab（a³+b³）解得答案．
解答：解：∵x²-4x+1=0的兩根為a，b，
利用根與系數(shù)的關(guān)系得出：
∴ab=1，a+b=4，
∴（a+b）²=16，
∴a²+b²+2ab=16，
∴a²+b²=16-2ab=16-2=14，
∵a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²=196-2×1=194，
∴a³+b³=（a+b）（a²+b²）-ab²-a²b=（a+b）（a²+b²）-ab（a+b）=4×14-1×4=52，
∴a⁵+b⁵=（a+b）（a⁴+b⁴）-ab（a³+b³）=4×194-1×52=724．
故答案為：724．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及立方公式的應(yīng)用，得出a⁵+b⁵=（a+b）（a⁴+b⁴）-ab（a³+b³）是解答本題的關(guān)鍵，本題難度一般．