Question

【題目】已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，頂點(diǎn)為B，且拋物線不經(jīng)過(guò)第三象限.

（1）使用a、c表示b；

（2）判斷點(diǎn)B所在象限，并說(shuō)明理由；

（3）若直線y2=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且交拋物線于另一點(diǎn)C(,b+8),求當(dāng)x≥1時(shí)，y1的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）b=-a-c；（2）第四象限，理由見(jiàn)解析；（3）y1≥-2.

【解析】

試題分析：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根與系數(shù)的關(guān)系和一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵.

（1）拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），把點(diǎn)代入函數(shù)即可得到b=-a-c；

（2）判斷點(diǎn)在哪個(gè)象限，需要根據(jù)題意畫(huà)圖，由條件：圖象不經(jīng)過(guò)第三象限就可以推出開(kāi)口向上，a＞0，只需要知道拋物線與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)即可解決，判斷與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)可以考慮△，由△就可以判斷出與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由兩個(gè)不同的解x1=1，x2=，(a≠c)，進(jìn)而得出點(diǎn)B所在象限；

（3）當(dāng)x≥1時(shí)，y1的取值范圍，只要把圖象畫(huà)出來(lái)就清晰了，難點(diǎn)在于要觀察出C(，b+8)是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，理由是x1=1，x2=，(a≠c)，由這里可以發(fā)現(xiàn)，b+8=0，b=-8，a+c=8，還可以發(fā)現(xiàn)C在A的右側(cè)；可以確定直線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，看圖象可以得到，x≥1時(shí)，y1大于等于最小值，此時(shí)算出二次函數(shù)最小值即可，即求出即可，已經(jīng)知道b=-8，a+c=8，算出a，c即可，即可得出y1的取值范圍.

試題解析：（1）∵拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），經(jīng)過(guò)A（1，0），

把點(diǎn)代入函數(shù)即可得到：b=-a-c；

（2）B在第四象限．

理由如下：

∵拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）過(guò)點(diǎn)A（1，0），

∴x1=1,x2=,a≠c，

所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

又因?yàn)閽佄锞�不經(jīng)過(guò)第三象限，

所以a＞0，且頂點(diǎn)在第四象限；

（3）∵C（，b+8），且在拋物線上，

∴b+8=0，∴b=-8，

∵a+c=-b，

∴a+c=8，

把B、C兩點(diǎn)代入直線解析式易得：c-a=4，

即，

解得：，

如圖所示，C在A的右側(cè)，

∴當(dāng)x≥1時(shí)，y1≥=-2．