如圖，在⊙O中，直徑BC為10，點A是⊙O上的一個點，∠ABC的平分線交⊙O于點E，交AC于點F．過點E作⊙O的精英家教網(wǎng)切線，交BC的延長線于慮D，連接CE．
（1）求證：∠ACE=∠DEC′；
（2）若AB=AE，求AF的長；
（3）如果點A由點B出發(fā)，在⊙O的圓周上運動，當點A在什么位置時，AE與BD互相平行？
分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠ABE=∠EBC，
AE
=
CE
，由圓周角定理可得∠ABE=∠ACE，由弦切角定理可知∠DEC=∠EBC，故∠ACE=∠DEC；
（2）由（1）可知
AE
=
CE
，因為AB=AE，所以
AE
=
CE
=
AB
，故A、E三等分
AC
，故三段弧所對的圓周角等于30°，再根據(jù)直角三角形及相似三角形的性質(zhì)即可解答；
（3）由（2）可知，當
AE
=
CE
=
AB
，即A、E三等分
AC
時，AE與BD互相平行．
解答：（1）證明：∵AE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠EBC，
AE
=
CE
；
又∵∠ABE=∠ACE，∠DEC=∠EBC，
∴∠ACE=∠DEC．

（2）解：∵
AE
=
CE
，AB=AE，
∴
AE
=
CE
=
AB
，故A、E三等分
AC
，
∴∠EBC=∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°，AE∥BD；
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，故AB=
1
2
BC=
1
2
×10=5，故AB=AE=CE=5，
AC=BE=
BC2-AB2
=
102-52
=5
3
，
△AEF∽△CBF，設(shè)AF=x，則
AF
CF
=
AE
BC
，即
x
5
3
-x
=
1
2
，
解得x=
5
3
3
，即AF=
5
3
3
；

（3）解：由（2）可知，當
AE
=
CE
=
AB
，即A、E三等分
AC
時，AE與BD互相平行．
點評：此題比較復雜，涉及到圓周角的性質(zhì)定理及直角三角形的性質(zhì)，是中學階段的重點內(nèi)容．
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精英家教網(wǎng)如圖，在⊙O中，直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，則BC=
 
cm，∠ABD=
 
度．

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