【題目】如圖,,點為內(nèi)的一個動點,過點作與,使得,分別交、于點、.
(1)求證:;
(2)連接,若,試求的值;
(3)記,,,若,,且、、為整數(shù),求、、的值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3),,.
【解析】
(1)利用三角形內(nèi)角和定理可得出即可證明結(jié)論;
(2)結(jié)合角的三角函數(shù)以及相似三角形的性質(zhì)可得出,利用,得出,最后利用勾股定理求解即可;
(3)設(shè),則,,將式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程求解,利用求根公式以及a,b,的取值范圍可求出c的求值范圍,再求出整數(shù)解即可;同理可以令,求a的取值范圍再求解.
解:(1)∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴.
又∵,
∴.
(2)由(1)得:,
∴.
∵,
∴.
又,
∴是等腰三角形.
∴,即,
∴,即.
∵,
∴.
在中,設(shè),則,
由勾股定理,得.
∴.
(3)解法一:由(1)知:,即,
設(shè),則,.
∵,
∴,即(*)
又∵,
∴,即,
∴方程(*)應(yīng)有根,
∴,
∴,(舍去)
由,解得:.
又∵為整數(shù),
∴.
當(dāng)時,方程(*)的根為無理數(shù),此時不為整數(shù),不合題意.
當(dāng)時,,此時,,.
綜上所述,,,.
解法二:由(1)知:,即,
設(shè),則,.
∵,
∴,即(*)
又∵,
∴,
即方程(*)應(yīng)有根滿足.
∴或
解得:或,
∴
又∵為整數(shù),
∴.
當(dāng)時,方程(*)化為:,
解得:.
∴,.
當(dāng)時,方程(*)的根為無理數(shù),此時不為整數(shù),不合題意.
綜上所述,,,.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠C=Rt∠,AC=3,BC=4,以點C為圓心,CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點E、D,則AE的長為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家口市舉行.為了調(diào)查學(xué)生對冬奧知識的了解情況,從甲、乙兩校各隨機抽取20名學(xué)生進行了相關(guān)知識測試,獲得了他們的成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.甲校20名學(xué)生成績的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖如圖:
甲校學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布表(表1)
成績m(分) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
50≤m<60 | a | 0.05 |
60≤m<70 | b | c |
70≤m<80 | 3 | 0.15 |
80≤m<90 | 8 | 0.40 |
90≤m<100 | 6 | 0.30 |
合計 | 20 | 1.0 |
b.甲校成績在80≤m<90的這一組的具體成績是:
87 88 88 88 89 89 89 89
c.甲、乙兩校成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表所示(表2):
學(xué)校 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲 | 84 | n | 89 | 129.7 |
乙 | 84.2 | 85 | 85 | 138.6 |
根據(jù)以如圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)表1中a= ;表2中的中位數(shù)n= ;
(2)補全圖1甲校學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布直方圖;
(3)在此次測試中,某學(xué)生的成績是87分,在他所屬學(xué)校排在前10名,由表中數(shù)據(jù)可知該學(xué)生是 校的學(xué)生(填“甲”或“乙”),理由是 ;
(4)假設(shè)甲校200名學(xué)生都參加此次測試,若成績80分及以上為優(yōu)秀,估計成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,點D是等腰直角△ABC的重心,其中∠ACB=90°,將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE,若△ABC的周長為6,則△DCE的周長為( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90,D是AC的中點,⊙O經(jīng)過A、B、D三點,CB的延長線交⊙O于點E.
(1)求證:AE=CE .
(2)若EF與⊙O相切于點E,交AC的延長線于點F,且CD=CF=2cm,求⊙O的直徑.
(3)若EF與⊙O相切于點E,點C在線段FD上,且CF:CD=2:1,求sin∠CAB .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形中的點,拋物線經(jīng)過原點和點,并且有最低點點,分別在線段,上,且,,直線的解析式為,其圖像與拋物線在軸下方的圖像交于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)時,求的取值范圍;
(3)在線段上是否存在點,使得,若存在,請求出點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點O為平面直角坐標(biāo)系的原點,點A在x軸上,△OAB是邊長為4的等邊三角形,以O為旋轉(zhuǎn)中心,將△OAB按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△OA′B′,那么點A′的坐標(biāo)為( 。
A. (2,2) B. (﹣2,4) C. (﹣2,2) D. (﹣2,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,用好漢字,某中學(xué)開展了一次“古詩詞”知識競賽,賽程共分“預(yù)賽、復(fù)賽和決賽”三個階段,預(yù)賽由各班舉行,全員參加,按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)評分,統(tǒng)計成績后繪制成如圖1和圖2所示的兩幅不完整“預(yù)賽成績條形統(tǒng)計圖”和“預(yù)賽成績扇形統(tǒng)計圖”,預(yù)賽前10名選手參加復(fù)賽,成績見“前10名選手成績統(tǒng)計表”(采用百分制記分,得分都為60分以上的整數(shù)).
前10名選手成績統(tǒng)計表
序號 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ⑧ | ⑨ | ⑩ |
預(yù)賽成績(分) | 100 | 92 | 95 | 98 | 94 | 100 | 93 | 96 | 95 | 96 |
復(fù)賽成績(分) | 90 | 80 | 85 | 90 | 80 | 88 | 85 | 90 | 86 | 89 |
總成績(分) | 94 | 84.8 | 89 | 85.6 | 92.8 | 88.2 | 89.6 | 91.8 |
(1)求該中學(xué)學(xué)生的總?cè)藬?shù),并將圖1補充完整;
(2)在圖2中,求“90.5~100.5分數(shù)段人數(shù)”的圓心角度數(shù);
(3)預(yù)賽前10名選手參加復(fù)賽,成績見“前10名選手成績統(tǒng)計表”,若按預(yù)賽成績占40%,復(fù)賽成績占60%的比例計算總成績,并從中選出3人參加決賽,你認為選哪幾號選手去參加決賽,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某幢建筑物從2.25米高的窗口用水管向外噴水,噴的水流呈拋物線型(拋物線所在平面與墻面垂直),如果拋物線的最高點離墻1米,離地面3米,則水流下落點離墻的距離是( )
A.2.5米B.3米C.3.5米D.4米
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