Question

【題目】若變量z是變量y的函數(shù)，同時變量y是變量x的函數(shù)，那么我們把變量z叫做變量x的“迭代函數(shù)”.

例如：z2y3，yx1，則z2x132x1，那么z2x1就是z與x之間的“迭代函數(shù)”解析式.

（1）當2006x2020時，zy2，，請求出z與x之間的“迭代函數(shù)”的解析式及z的最小值；

（2）若z2ya，yax24axba0，當1x3時，“迭代函數(shù)”z的取值范圍為1z17，求a和b的值；

（3）已知一次函數(shù)yax1經過點1,2，zay2b2ycb4（其中a、b、c均為常數(shù)），聰明的你們一定知道“迭代函數(shù)”z是x的二次函數(shù)，若x1、x2（x1x2）是“迭代函數(shù)”z3的兩個根，點x3,2是“迭代函數(shù)”z的頂點，而且x1、x2、x3還是一個直角三角形的三條邊長，請破解“迭代函數(shù)”z關于x的函數(shù)解析式.

Answer 1

【答案】（1）z= -x+6；-1004；（2）或；（3）

【解析】

（1）把代入zy2中化簡即可得出答案；

（2）把yax24axba0代入z2ya整理得z=2a(x-2) 2-7a+2b,再分兩種情況討論，分別得方程組和，求解即可得；

（3）把（1，2）代入y=ax+1解得a=1，得出y=x+1，再將y=x+1代入z=ay2+（b-2）y+c-b+4得，根據(jù)點x3,2是“迭代函數(shù)”z的頂點得出，再根據(jù)當z=3時， 解得，又x1、x2、x3是一個直角三角形的三條邊長得，代入解得b=-8,c=15,從而得解。

解：（1）把代入zy2中得：

z（）2= -x+6

∵-＜0，

∴z隨著x的增大而減小，

∵2006 x2020 ，

∴當x=2020時，z有最小值，最小值為z= -×2020+6=-1004

故答案為：z= -x+6；-1004

（2）把yax24axba0代入z2ya，得

z2（ax24axb）a

=2ax28axba，

=2a(x-2) 2-7a+2b

這是一個二次函數(shù)，圖象的對稱軸是直線x=2，

當a＞0時，由函數(shù)圖象的性質可得x=-1時，z=17;x=3時，z=-1;

∴

解得

當a＜0時，由函數(shù)圖象的性質可得x=-1時，z=-1;x=3時，z=17;

∴

解得

綜上，或

（3）把（1，2）代入y=ax+1得a+1=2

解得a=1

∴y=x+1

把y=x+1代入z=ay2+（b-2）y+c-b+4并整理得

∵點x3,2是“迭代函數(shù)”z的頂點,

整理得

當z=3時，

解得

又∵x1x2

∴x1 x3x2

又∵x1、x2、x3還是一個直角三角形的三條邊長

∴

即

解得

∴

把代入

解得c=15

∴

故答案為：