Question

在一堂數學課中，數學老師給出了如下問題“已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．求證：CB=CD”．文文和彬彬都想到了利用輔助線把四邊形的問題轉化為三角形來解決．

（1）文文同學證明過程如下：連接AC（如圖2）
∵∠B=∠D，AB=AD，AC=AC
∴△ABC≌△ADC，∴CB=CD
你認為文文的證法是________ 的．（在橫線上填寫“正確”或“錯誤”）
（2）彬彬同學的輔助線作法是“連接BD”（如圖3），請完成彬彬同學的證明過程．

Answer 1

解：（1）錯誤；

（2）證明：連接BD（如圖3）．

∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD（等邊對等角）；
又∵∠B=∠D，
∴∠B-∠ABD=∠D-∠ADB，
即∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD（等角對等邊）．
分析：（1）根據全等三角形的判定定理知，SSA不能判定兩個三角形全等；
（2）作輔助線BD，構建等腰△ABD．在△ABD中，根據等腰三角形的性質知兩個底角∠ADB=∠ABD，再根據已知條件∠B=∠D，從而求得∠CBD=∠CDB，易證明CB=CD（等角對等邊）．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．解答（2）題時，借助于輔助線BD將隱含在題中的條件“△ABD是等腰三角形”給挖掘了出來，給證明∠CBD=∠CDB提供了有力的依據．