Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D．

（1）求A、B、C、D的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)E（m，n）是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），D（，0）；（2）存在，（ ，4）或（， ）或（，﹣）；（3）△CBF的面積最大為1，E（1，1）

【解析】試題分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出拋物線對稱軸，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）利用勾股定理求出CD，然后分①點(diǎn)C是頂角頂點(diǎn)時(shí)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解，②點(diǎn)D是頂角頂點(diǎn)時(shí)，分點(diǎn)P在點(diǎn)D的上方和下方兩種情況寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC的解析式，表示出EF，再根據(jù)S△CBF=S△CBE+S△BEF列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解：（1）令y=0，則-x2+x+2=0，

解得x1=-1，x2=2，

所以，A（-1，0），B（2，0），

令x=0，則y=2，

所以，點(diǎn)C（0，2），

對稱軸為直線x= ，

所以，點(diǎn)D（，0）；

（2）由（1）可知，OC=2，OD=，

所以，CD=＝，

①點(diǎn)C是頂角頂點(diǎn)時(shí)，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為點(diǎn)C的2倍，即2×2=4，

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4），

②點(diǎn)D是頂角頂點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)D的上方，則P（， ），

若點(diǎn)P在點(diǎn)D的下方，則P（， ），

綜上所述，拋物線對稱軸上存在點(diǎn)P（，4）或（， ）或（，﹣），使△PCD是以CD為腰的等腰三角形；

（3）可求直線BC的解析式為y=﹣x+2，

∵點(diǎn)E（m，n）是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，

∴EF=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，

∴S△CBF=S△CEF+S△BEF= EF·OB =（﹣m2+2m）×2=﹣m2+2m=﹣（m﹣1）2+1，

∴當(dāng)m=1時(shí)，△CBF的面積最大為1，此時(shí)，n=﹣1+2=1，所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，1）．