Question

已知：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)A與點(diǎn)B在x軸上，且點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是方程x²-3x-4=0的兩個(gè)根，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式．
（2）如圖，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連接DP交BC于點(diǎn)E．
①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
②連接CD、CP，△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)解方程，首先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）①由于沒(méi)有明確等腰△BDE的腰和底，所以要分類進(jìn)行討論：
Ⅰ、BD為底，此時(shí)點(diǎn)P在線段BD的中垂線上，B、D的坐標(biāo)已知，則E點(diǎn)橫坐標(biāo)可求，在求出直線BC的解析式后代入其中即可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)；
Ⅱ、DE為底，那么BE=BD=2，在Rt△BOC中，∠DBE的正弦、余弦值不難得出，所以過(guò)E作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，通過(guò)解直角三角形來(lái)確定點(diǎn)E的坐標(biāo)；
Ⅲ、BE為底，解法與Ⅱ類似，唯一不同的是需要過(guò)D作BE的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角形首先求出BE的長(zhǎng)．
②△CDP中，線段CD的位置是確定的，所以以CD為底進(jìn)行討論，欲使△CDP的面積最大，必須令點(diǎn)P到直線CD的距離最長(zhǎng)，若做一條與直線CD平行的直線，當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)唯一的交點(diǎn)就是符合條件的P點(diǎn)，理清大致思路后，具體的解法便不難得出：首先求出直線CD的解析式，然后過(guò)P作直線l∥直線CD，且點(diǎn)P為直線l與拋物線的唯一交點(diǎn)，由于直線l、CD平行，所以它們的斜率相同，聯(lián)立拋物線的解析式后即可求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后過(guò)P作x軸的垂線，通過(guò)圖形間的面積和差關(guān)系求出△CDP的面積最大值．

解答：解：（1）解方程x²-3x-4=0，得：x₁=-1、x₂=4，則 A（-1，0）、B（4，0）；
依題意，設(shè)拋物線的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入C（0，-2），得：
a（0+1）（0-4）=-2，
解得：a=

1

2

故拋物線的解析式：y=

1

2

（x+1）（x-4）=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）①分三種情況討論：
Ⅰ、當(dāng)DE=BE時(shí)（如圖①-Ⅰ），點(diǎn)E在線段BD的中垂線上，則E點(diǎn)橫坐標(biāo)為3；
由C（0，-2）、B（4，0）得，直線BC：y=

1

2

x-2；
當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

2

x-2=-

1

2

，即 E（3，-

1

2

）；
Ⅱ、當(dāng)BE=BD時(shí)（如圖①-Ⅱ），BE=BD=2；
在Rt△OBC中，sin∠DBE=

5

5

，cos∠DBE=

2 5

5

；
過(guò)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，則有：
在Rt△BEF中，EF=BE•sin∠DBE=2•

5

5

=

2 5

5

，BF=BE•cos∠DBE=

4 5

5

，
則OF=OB-BF=4-

4 5

5

，即 E（4-

4 5

5

，-

2 5

5

）；
Ⅲ、當(dāng)BD=DE時(shí)（如圖①-Ⅲ），DE=BD=2；
過(guò)D作DH⊥BC于H，過(guò)E作EG⊥x軸于G，則有：
在Rt△BDH中，同Ⅱ可求得BH=

4 5

5

，則 BE=2BH=

8 5

5

；
在Rt△BEG中，EG=BE•sin∠DBE=

8 5

5

•

5

5

=

8

5

，BG=BE•cos∠DBE=

16

5

，
則OG=OB-BG=

4

5

，即 E（

4

5

，-

8

5

）；
綜上，當(dāng)BE=DE時(shí)，E（3，-

1

2

）；當(dāng)BE=BD時(shí)，E（4-

4 5

5

，-

2 5

5

）；當(dāng)BD=DE時(shí)，E（

4

5

，-

8

5

）．

②由C（0，-2）、D（2，0）得，直線CD：y=x-2；
作直線l∥CD，且直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，設(shè)直線l：y=x+b，聯(lián)立拋物線的解析式：
x+b=

1

2

x²-

3

2

x-2，即：

1

2

x²-

5

2

x-2-b=0
△=

25

4

-4×

1

2

×（-2-b）=0，解得 b=-

41

8

即，直線l：y=x-

41

8

；
聯(lián)立直線l和拋物線的解析式，得：

y=x- 41 8 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
解得

x= 5 2 y=- 21 8

則P（

5

2

，-

21

8

）；
過(guò)P作PM⊥x軸于M，如圖（2）②
△CDP的最大面積：Smax=

1

2

×（2+

21

8

）×

5

2

-

1

2

×2×2-

1

2

×（

5

2

-2）×

21

8

=

25

8

；
綜上，當(dāng)P（

5

2

，-

21

8

）時(shí)，△CDP的面積有最大值，且最大面積為

25

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的知識(shí)點(diǎn)有：一元二次方程的解法、利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定、三角形面積的求法等；（2）的兩個(gè)小題較為復(fù)雜，在①中，沒(méi)有明確等腰三角形的底和腰是容易漏解的地方，這里需要分類討論；在②中，此題所用的解法是平行法，也可直接用面積法來(lái)獲取關(guān)于S_△CDP和m的函數(shù)關(guān)系式，但是必須根據(jù)P點(diǎn)的不同位置分段進(jìn)行討論，因?yàn)镻點(diǎn)的位置直接影響到了面積間的和差關(guān)系．