Question

如圖，點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）、C（3，3）在拋物線y=ax²+bx+c上，點(diǎn)D在y軸上，且DC⊥BC，∠BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后兩邊與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）CF能否經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)？若能，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可以由兩根式設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x-4），求出a的值即可；
（2）由C、B兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可以求得CB直線方程為：y=-3x+12，設(shè)CD直線方程可以設(shè)為：y=x+m，求出m的值，進(jìn)而求出D點(diǎn)的值，由拋物線解析式可以頂點(diǎn)公式或?qū)ΨQ(chēng)軸x=1解得頂點(diǎn)M坐標(biāo)，由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CM即CF直線方程，CE直線方程可以設(shè)為：y=x+n，求出n的值，進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CD=，△FDC是等腰△可以有三種情形：①當(dāng)FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分別求出F點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
解答：解：（1）由拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，
可以由兩根式設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x-4），
然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：a（3+2）（3-4）=3，
解得：a=-，
故拋物線解析式是：y=-（x+2）（x-4）；

（2）由C、B兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可以求得CB直線方程為：y=-3x+12，
∵CD⊥CB，
∴CD直線方程可以設(shè)為：
y=x+m，
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：m=2，
∴CD直線方程為：y=x+2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：D（0，2），
由拋物線解析式可以頂點(diǎn)公式或?qū)ΨQ(chēng)軸x=1解得頂點(diǎn)M坐標(biāo)為M（1，），
∴由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CM即CF直線方程為：y=-x+，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：F（0，），
∴CE直線方程可以設(shè)為：y=x+n，
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：n=，
∴CE直線方程為：y=x+，
令y=0，解得：x=-，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為E（-，0），
∴能；
（3）由C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CD=，
則△FDC是等腰△可以有三種情形：
①FD=CD=，
則F點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，2+），
②FC=CD=，過(guò)C點(diǎn)作y軸垂線，垂足為H點(diǎn)，
則DH=1，
則FH=1，
則F點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，4），
③FD=FC，作DC的中垂線FG，交y軸于F點(diǎn)，交DC于G點(diǎn)，
由中點(diǎn)公式得G點(diǎn)坐標(biāo)為G（，），
由DC兩點(diǎn)可以求得DC直線方程為：y=x+2，
則FG直線方程可以設(shè)為：y=-3x+p，
將G點(diǎn)坐標(biāo)代入解得：p=7，
故F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，7）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及其解析式的求法，特別是（3）問(wèn)需要分類(lèi)討論，此題難度較大，希望同學(xué)們仔細(xì)作答．