Question

如圖1，拋物線F₁：y=x²+b₁x的頂點為P，與x軸交于A、O兩點，且△APO為等腰直角三角形，△A′P′O與△APO關(guān)于原點O位似，且△A′P′O與△APO在原點的兩側(cè)，相似比為1：2，拋物線F₂：y=a₂x²+b₂x經(jīng)過O、P′、A′三點．

（1）求A′O的長及a₂的值；
（2）若將“拋物線F₁：y=x²+b₁x”改為“拋物線F₁：y=a₁x²+b₁x（a₁＞0）”，其他條件不變，求a₂與a₁的關(guān)系；
（3）如圖2，若將“拋物線F₁：y=a₁x²+b₁x”改為“拋物線F₁：y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁＞0）”，將“拋物線F₂：y=a₂x²+b₂x”改為“拋物線F₁：y=a₂x²+b₂x+c₂”，將“相似比為1：2”改為“相似比為1：m”，猜想a₂與a₁的關(guān)系．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）由于△PAO是等腰直角三角形，那么OA的一半等于頂點縱坐標(biāo)的絕對值，可用拋物線的對稱軸方程表示出OA的一半，而P點縱坐標(biāo)易得，根據(jù)上述等量關(guān)系即可求得OA的長，進(jìn)而根據(jù)△OAP、△OA′P′的位似比求得OA′的長，然后仿照上面的方法即可求出a₂的值．
（2）首先求出兩個拋物線的頂點坐標(biāo)，由于兩個拋物線關(guān)于原點對稱，且位似比為1：2，那么它們的頂點橫、縱坐標(biāo)的絕對值的比也為1：2，可據(jù)此列出等量關(guān)系，求得a₁、a₂的比例關(guān)系．
（3）可先設(shè)出兩個等腰直角三角形的斜邊的一半的長，進(jìn)而根據(jù)它們的對稱軸方程和斜邊一半的長表示出各底角頂點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到等腰直角三角形斜邊上的高，根據(jù)等腰直角三角形斜邊的高等于斜邊的一半，來求得a₁、a₂的比例關(guān)系．

解答：解：（1）由題意知：拋物線F₁：y=x²+b₁x的頂點為P（-

b1

2

，-

b12

4

）；
由于△APO為等腰直角三角形，則

b1

2

=

b12

4

，
解得b₁=2；
故OA=2×

b1

2

=b₁=2，OA′=

1

2

OA=1；
同理，拋物線F₂：y=a₂x²+b₂x的頂點為P′（-

b2

2a2

，-

b22

4a2

）；
由于△A′P′O是等腰直角三角形，
故-

b2

2a2

=-

b22

4a2

（*），
而OA′=1，即-

b2

2a2

=

1

2

，
即b₂=-a₂，
代入（*）中，得：a₂=-2．

（2）易得P（-

b1

2a1

，-

b12

4a1

），P′（-

b2

2a2

，-

b22

4a2

）；
由于兩個拋物線關(guān)于原點對稱，且位似比為1：2，則有：
-

b1

2a1

=-2（-

b2

2a2

），-

b12

4a1

=-2（-

b22

4a2

）；
聯(lián)立兩式，
可得a₂=-2a₁．

（3）設(shè)△AOP的斜邊長為2R，△A′P′O的斜邊長為2r；
易知：P（-

b1

2a1

，

4a1c1-b12

4a1

），P′（-

b2

2a2

，

4a2c2-b22

4a2

）；
那么B點橫坐標(biāo)可表示為：R-

b1

2a1

，縱坐標(biāo)可表示為：a₁（R-

b1

2a1

）²-b₁（R-

b1

2a1

）+c₁；
由于△AOP是等腰直角三角形，則有：
a₁（R-

b1

2a1

）²-b₁（R-

b1

2a1

）+c₁-

4a1c1-b12

4a1

=R，
整理得：a₁R₂=R，
即R=

1

a1

；
同理可得：r=-

1

a2

；
而R=mr，則

1

a1

=-

m

a2

，即a₂=-ma₁．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形的位似變換、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，由于此題中，大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是未知數(shù)，且運算量較大，所以難度較大．