Question

如圖1，拋物線F₁：y=x²的頂點(diǎn)為P，將拋物線F₁平移得到拋物線F₂，使拋物線F₂的頂點(diǎn)Q始終在拋物線F₁圖象上（點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合），過(guò)點(diǎn)Q直線QB∥x軸，與拋物線F₁的另一個(gè)交點(diǎn)為B，拋物線F₁的對(duì)稱軸交拋物線F₂于點(diǎn)A．
（1）猜想四邊形ABOQ的形狀為

 

，若四邊形ABOQ有一個(gè)內(nèi)角為60°，則此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

；
（2）若將“拋物線F₁：y=x²”改為“拋物線F₁：y=ax²”，其他條件不變，請(qǐng)你在圖2中探究（1）中的問(wèn)題；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若將“拋物線F₁：y=ax²”改為“拋物線F₁：y=a（x-m）²+n”，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a、m、n的式子表示）．

Answer 1

分析：此題3個(gè)小題的解法是一致的，首先表示出平移后的拋物線解析式，易知AP垂直平分線段BQ，只需看BQ是否垂直平分AP即可，可將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入平移后的拋物線中，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后比較AP的長(zhǎng)是否為Q、P縱坐標(biāo)差的2倍即可；
在證得四邊形ABPQ是菱形后，設(shè)AP與BQ的交點(diǎn)為M，若菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，那么△AMQ中，∠MAQ=30°或60°，AM、MQ的長(zhǎng)可由點(diǎn)A、Q的坐標(biāo)獲得，根據(jù)AM=

3

MQ或

3

AM=MQ即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)平移后的拋物線F₂的解析式為：y=（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
由于F₂的頂點(diǎn)（R，S）在拋物線F₁的圖象上，則有：
S=R²，即拋物線F₂：y=（x-R）²+R²，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2R²；
設(shè)AP與BQ的交點(diǎn)為M，則AM=PM=R²，
所以AP、BQ互相垂直平分，
即四邊形ABPQ是菱形；
由于菱形的一個(gè)內(nèi)角是60°，則：
①△AMQ中，∠MAQ=30°時(shí)，AM=

3

QM，
即R²=

3

R，
解得R=

3

，此時(shí)Q（

3

，3）；
②△AMQ中，∠MAQ=60°時(shí)，

3

AM=QM，即

3

R²=R，
解得R=

3

3

，此時(shí)Q（

3

3

，

1

3

）．

（2）設(shè)F₂：y=a（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
同（1）可得：S=aR²，
即拋物線F₂：y=a（x-R）²+aR²；
當(dāng)x=0時(shí)，y=2aR²；
即AM=PM=aR²，故AP、BQ互相垂直平分，即四邊形ABPQ是菱形；
若菱形的一個(gè)內(nèi)角是60°，同（1）可知：
①AM=

3

QM，即aR²=

3

R，解得R=

3

a

，此時(shí)Q（

3

a

，

3

a

）；
②

3

AM=QM，即

3

aR²=R，解得R=

3

3a

，此時(shí)Q（

3

3a

，

1

3a

）．

（3）設(shè)F₂：y=a（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
同（2）得：S=a（R-m）²+n，即拋物線F2：y=a（x-R）²+a（R-m）²+n，
當(dāng)x=m時(shí)，y=2a（R-m）²+n，
故AM=PM=a（R-m）²，
同理可得四邊形ABPQ是菱形；
Q（m+

3

a

，n+

3

a

）或（m+

3

3a

，n+

1

3a

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及菱形的判定方法，由于題目中大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是未知數(shù)，所以難度較大．