長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）； 如此反復(fù)操作下去．若在第n次操作后， 剩下的矩形為正方形，則操作終止．  當(dāng)n=3時(shí)，a的值為­­­­________．

 

【答案】

或．

【解析】

試題分析：首先根據(jù)題意可知當(dāng)時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a，寬為1-a，第二次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1．然后分別從1-a＞2a-1與1-a＜2a-1去分析求解，即可求得答案．

由題意，可知當(dāng)時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a，寬為1-a，

所以第二次操作時(shí)剪下正方形的邊長(zhǎng)為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1．

此時(shí)，分兩種情況：

①如果1-a＞2a-1，即a＜，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為2a-1．

則2a-1=（1-a）-（2a-1），解得；

②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1-a．

則1-a=（2a-1）-（1-a），解得．

∴當(dāng)n=3時(shí)，或．

考點(diǎn)：此題考查了折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用，注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

25、某鎮(zhèn)正在建造的文化廣場(chǎng)工地上，有兩種鋪設(shè)廣場(chǎng)地面的材料，一種是長(zhǎng)為acm，寬為bcm的矩形板材（如圖），另一種是邊長(zhǎng)為ccm的正方形地磚（如圖②）
（1）用幾塊如圖②所示的正方形地磚能拼出一個(gè)新的正方形？并寫出新正方形的面積（寫出一個(gè)符合條件的答案即可）；
（2）用如圖①所示的四塊矩形板材鋪成如圖③的大正方形或如圖④的大矩形，中間分別空出一個(gè)小正方形和小矩形（即圖中陰影部分）；
①請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式分別表示圖③和圖④中陰影部分的面積；
②試比較圖③和圖④中陰影部分的面積哪個(gè)大？大多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)某居民小區(qū)為了美化環(huán)境，要在一塊長(zhǎng)為x，寬為y的矩形綠地上建造花壇，要求花壇所占面積不超過綠地面積的一半，小明為此設(shè)計(jì)一個(gè)如圖的方案，花壇是由一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成的，其中m，n分別是x，y的
1
2
，若x=
3
2
y，則小明的設(shè)計(jì)方案是否符合要求？請(qǐng)你用方法加以說明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

25、用四塊長(zhǎng)為acm、寬為bcm的矩形材料（如圖1）拼成一個(gè)大矩形（如圖2）或大正方形（如圖3），中間分別空出一個(gè)小矩形A和一個(gè)小正方形B．

（1）求（如圖1）矩形材料的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）
（2）通過計(jì)算說明A、B的面積哪一個(gè)比較大；
（3）根據(jù)（如圖4），利用面積的不同表示方法寫出一個(gè)代數(shù)恒等式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在長(zhǎng)為10m，寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個(gè)全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示．求小矩形花圃的長(zhǎng)和寬．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年山東省青島市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個(gè)長(zhǎng)x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積．
即（x+x+2）2=4x（x+2）+22
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）2=4×35+22
∴（2x+2）2=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）
【研究不等關(guān)系】
提出問題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長(zhǎng)y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點(diǎn)部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）

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