Question

如圖，正六邊形ABCDEF中，P是ED上一點，直線DC與射線AP，AB相交于M，N．當△AMN面積與正六邊形ABCDEF面積相等時，=    ．

Answer 1

【答案】分析：先連接AE，過F作FG⊥AE于G，由等腰三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義可求出AE的長，再設正六邊形ABCDEF的邊長為a，△NPD的高為h，根據(jù)ED∥AM可知△NED∽△NAM，再根據(jù)正六邊形內(nèi)角的度數(shù)可得出△BMC是等邊三角形，即AM=2a，再由△AMN面積與正六邊形ABCDEF面積相等即可求出h的值，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求解．
解答：解：先連接AE，過F作FG⊥AE于G，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，設正六邊形ABCDEF的邊長為a，△NPD的高為h，
∴AE=2EG=2×EF×cos∠AEF=2×a×=a，
S_{正六邊形ABCDEF}=6×a×=，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠CBM=∠BCM=60°，
∴△BMC是等邊三角形，
∴BM=a，
∵△AMN面積與正六邊形ABCDEF面積，
∴S_△AMN=AM•（AE+h）=×2a（a+h）=，
∴h=，
∵ED∥AB，
∴△NPD∽△NAM，
∴=，即=，
解得PD=，
∴PE=a，
∴=．
故答案為：．
點評：本題考查的是面積及等積變換，熟知正六邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關鍵．