Question

如圖，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，等長(zhǎng)的三條線DE、FG、HT分別平行于三邊AB、BC、CA，并且都過點(diǎn)P，且AB＝12，BC＝8，CA＝6．求證：AT∶TF∶FB＝1∶5∶3．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵DE∥AB，F(xiàn)G∥BC，HT∥CA， 　　∴△DPG∽△ABC， 　　△TFP∽△ABC， 　　△PEH∽△ABC， 　　設(shè)上述三個(gè)相似比依次為x、y、z，則 　　DP＝12x，PG＝8x，DG＝6x， 　　TF＝12y，F(xiàn)P＝8y，TP＝6y， 　　PE＝12z，EH＝8z，HP＝6z． 　　∵DP＋TF＋PE＝AT＋TF＋FB＝AB＝12， 　　∴12x＋12y＋12z＝12， 　　即x＋y＋z＝1．① 　　又∵DE＝FG＝HF， 　　即DP＋PE＝FP＋PG＝TP＋PH， 　　∴12x＋12z＝8x＋8y＝6y＋6z．② 　　由①②得x＝，y＝，z＝， 　　則AT∶TF∶FB 　　＝DP∶TF∶PE 　�。絰∶y∶z 　�。�1∶5∶3．

提示：

點(diǎn)悟：題目中有多組平行線，故可直接利用平行線截得線段成比例定理和三角形相似來解決問題． 　　點(diǎn)撥：本題中巧設(shè)三個(gè)相似比為x，y，z，起到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用．