【題目】如圖△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P從B出發(fā),以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q同時(shí)以1厘米/秒的速度從D出發(fā),沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上,四邊形PQCM為平行四邊形.
①若a= ,求PQ的長;
②是否存在實(shí)數(shù)a,使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上?若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中點(diǎn),
∴BD=CD= BC=6cm,
∵a=2,
∴BP=2tcm,DQ=tcm,
∴BQ=BD﹣QD=6﹣t(cm),
∵△BPQ∽△BDA,
∴ ,
即 ,
解得:t=
(2)解:①過點(diǎn)P作PE⊥BC于E,
∵四邊形PQCM為平行四邊形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,
∴PB=CM,
∴PB=PQ,
∴BE= BQ= (6﹣t)cm,
∵a= ,
∴PB= tcm,
∵AD⊥BC,
∴PE∥AD,
∴PB:AB=BE:BD,
即 ,
解得:t= ,
∴PQ=PB= t= (cm);
②不存在.理由如下:
∵四邊形PQCM為平行四邊形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.
若點(diǎn)P在∠ACB的平分線上,則∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,
∴∠PCQ=∠CPM,
∴∠CPM=∠PCM,
∴PM=CM,
∴四邊形PQCM是菱形,
∴PQ=CQ,PM∥CQ,
∴PB=CQ,PM:BC=AP:AB,
∵PB=atcm,CQ=CD+QD=6+t(cm),
∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB﹣PB=10﹣at(cm),
,
化簡得②:6at+5t=30③,
把①代入③得,t=﹣ ,
∴不存在實(shí)數(shù)a,使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上
【解析】(1)由△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中點(diǎn),根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),即可求得BD與CD的長,又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得t的值;(2)①首先過點(diǎn)P作PE⊥BC于E,由四邊形PQCM為平行四邊形,易證得PB=PQ,又由平行線分線段成比例定理,即可得方程 ,解此方程即可求得答案;②首先假設(shè)存在點(diǎn)P在∠ACB的平分線上,由四邊形PQCM為平行四邊形,可得四邊形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程組,解此方程組求得t值為負(fù),故可得不存在.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱:等邊對(duì)等角)),還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某地有一地下工程,其底面是正方形,面積為405m2,四個(gè)角是面積為5m2的小正方形滲水坑,根據(jù)這些條件如何求a的值?與你的同伴進(jìn)行交流.
下面是小康提供的解題方案,根據(jù)解題方案請(qǐng)你完成本題的解答過程:
①設(shè)大正方形的邊長為x m,小正方形的邊長為y m,那么根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程為_______,關(guān)于y的方程為_______;
②利用平方根的意義,可求得x=________(取正值,結(jié)果保留根號(hào)),y=________(取正值,結(jié)果保留根號(hào));
③所以a=x-2y=____________=__________(結(jié)果保留根號(hào));
④答:________________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在折紙活動(dòng)中,小明制作了一張△ABC紙片,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上,將△ABC沿著DE折疊壓平,A與A′重合,若∠A=75°,則∠1+∠2=( )
A.150°
B.210°
C.105°
D.75°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明計(jì)劃三天看完一本書,預(yù)計(jì)第一天看 x 頁,第二天看的頁數(shù)比第一天看的頁數(shù)多50 頁,第三天看的頁數(shù)比第二天看的頁數(shù)的一半還少5頁.
(1)用含x的式子表示這本書的頁數(shù);
(2)若 x=100,則這本書共有多少頁?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,AC,BD是對(duì)角線.將△DCB繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH,HG交AB于點(diǎn)E,連接DE交AC于點(diǎn)F,連接FG.則下列結(jié)論:
①四邊形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正確的結(jié)論是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)一個(gè)兩位正整數(shù),a表示十位上的數(shù)字,b表示個(gè)位上的數(shù)字(a≠b,ab≠0),則這個(gè)兩位數(shù)用多項(xiàng)式表示為 (含a、b的式子);若把十位、個(gè)位上的數(shù)字互換位置得到一個(gè)新兩位數(shù),則這兩個(gè)兩位數(shù)的和一定能被 整除,這兩個(gè)兩位數(shù)的差一定能被 整除
(2)一個(gè)三位正整數(shù)F,各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0.若從它的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字中任意選擇兩個(gè)數(shù)字組成6個(gè)不同的兩位數(shù).若這6個(gè)兩位數(shù)的和等于這個(gè)三位數(shù)本身,則稱這樣的三位數(shù)F為“友好數(shù)”,例如:132是“友好數(shù)”
一個(gè)三位正整數(shù)P,各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0,若它的十位數(shù)字等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和,則稱這樣的三位數(shù)P為“和平數(shù)”
①直接判斷123是不是“友好數(shù)”?
②直接寫出共有 個(gè)“和平數(shù)”
③通過列方程的方法求出既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為AB上面半圓上一點(diǎn),點(diǎn)D為AB的下面半圓的中點(diǎn),連接CD與AB交于點(diǎn)E,延長BA至F,使EF=CF.
(1)求證:CF與⊙O相切;
(2)若DEDC=13,求⊙O的半徑.
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