Question

【題目】求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中便記載了求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法﹣﹣更相減損術(shù)，術(shù)曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少成多，更相減損，求其等也．以等數(shù)約之”，意思是說(shuō)，要求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相等時(shí)，此時(shí)的差（或減數(shù)）即為這兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)．

例如：求91與56的最大公約數(shù)

解：

請(qǐng)用以上方法解決下列問(wèn)題：

（1）求108與45的最大公約數(shù)；

（2）求三個(gè)數(shù)78、104、143的最大公約數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）13．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題目，首先弄懂題意，然后根據(jù)例子寫(xiě)出答案即可；

（2）可以先求出104與78的最大公約數(shù)為 26，再利用輾轉(zhuǎn)相除法，我們可以求出26 與 143的最大公約數(shù)為13，進(jìn)而得到答案．

試題解析：（1）108﹣45=63，63﹣45=18，27﹣18=9，18﹣9=9，所以108與45的最大公約數(shù)是9；

（2）先求104與78的最大公約數(shù)，104﹣78=26，78﹣26=52，52﹣26=26，所以104與78的最大公約數(shù)是26；

再求26與143的最大公約數(shù)，143﹣26=117，117﹣26=91，91﹣26=65，65﹣26=39，39﹣26=13，26﹣13=13，所以，26與143的最大公約數(shù)是13，∴78、104、143的最大公約數(shù)是13．