Question

直線l：y=-

3

4

x+3分別交x軸、y軸于B、A兩點，等腰直角△CDM斜邊落在x軸上，且CD=6，如圖1所示．若直線l以每秒3個單位向上作勻速平移運動，同時點C從（6，0）開始以每秒2個單位的速度向右作勻速平移運動，如圖2所示，設(shè)移動后直線l運動后分別交x軸、y軸于Q、P兩點，以O(shè)P、OQ為邊作如圖矩形OPRQ．設(shè)運動時間為t秒．
（1）求運動后點M、點Q的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若設(shè)矩形OPRQ與運動后的△CDM的重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t相應的取值范圍；
（3）若直線l和△CDM運動后，直線l上存在點T使∠OTC=90°，則當在線段PQ上符合條件的點T有且只有兩個時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過M作MN⊥CD于N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CN=DN=MN=3，求出B的坐標，即可得到M、Q的坐標；
（2）①0＜t＜1時，s=0②1＜t≤2.5，如圖2，S=

1

2

CQ•QH，把CQ、QH代入即可求出答案；③當2.5＜t＜4時，如圖（3）同法可求DQ，根據(jù)s=S_△CMD-S_△DQE，求出△CMD和△DQE的面積代入即可；④當t≥4時，s=S_△CMD=

1

2

×6×3=9；
（3）①直線L經(jīng)過點C，即C、Q重合，根據(jù)4+4t=6+2t，求出即可；②如圖直線L切圓于F，證△QFE∽△QOW，得出

EQ

QW

=

EF

OW

，代入即可求出t的值，進一步得出t的取值范圍．

解答：（1）解：過M作MN⊥CD于N，
∵等腰直角△CDM，
∴CN=DN=MN=3，
由勾股定理得：MC=MD=3

2

，
∵點C從（6，0）開始以每秒2個單位的速度向右作勻速平移運動，
∴ON=6+3+2t=9+2t，
∵y=-

3

4

x+3，
∴當y=0時，x=4，
∴B（4，0），
∵直線l以每秒3個單位向上作勻速平移運動，
∴直線PQ的解析式是y=-

3

4

x+3+3t，
y=0代入得：0=-

3

4

x+3+3t，
x=4t+4
∴OQ=4+4t，
∴M（9+2t，3），Q（4+4t，0），
答：運動后點M、點Q的坐標分別是（9+2t，3），（4+4t，0）．

（2）解：①∵當兩圖形不重合時，因為B（4，0），故OB=4，此時BC=2，點B運動速度為4個單位每秒，點C運動速度為2個單位每秒，若點B經(jīng)過t秒追上點C，則4t-2t=2，故t=1秒，所以t的范圍是：0＜t＜1，s=0，如圖1，
②∵當t=2.5時，RQ過M點，
∴1＜t≤2.5，如圖2，由矩形OPRQ，∠OQH=90°，
∵∠MCD=45°=∠CHQ，
∴CQ=（4+4t）-（6+2t）=2t-2=QH，
∴S=

1

2

CQ•QH=

1

2

（2t-2）²=2t²-4t+2，
即：s=2t²-4t+2；
③∵當t=4時，RQ過D點，
∴當2.5＜t＜4時，如圖（3）：

同法可求DQ=OD-OQ=（6+6+2t）-（4+4t）=8-2t，
∴s=S_△CMD-S_△DQE=

1

2

×6×3-

1

2

（8-2t）²=-2t²+16t-23，
即：s=-2t²+16t-23；

④∵當t≥4時，△MDC在矩形PRQO的內(nèi)部，
∴當t≥4時，s=S_△CMD=

1

2

×6×3=9；
答：S與t的函數(shù)關(guān)系式是s=2t²-4t+2（1＜t≤2.5）或s=-2t²+16t-23（2.5＜t＜4）或s=9（t≥4）．

（3）解：①直線L經(jīng)過點C，即C、Q重合

此時4+4t=6+2t，
解得：t=1；
②如圖直線L切圓于F，即點T，OE=EF=3+t，EQ=1+3t

∵∠FQC=∠FQC，∠EFQ=∠COW=90°，
∴△QFE∽△QOW，
∴

EQ

QW

=

EF

OW

，

1+3t

(- 9 4 t+3)2+(3+t+1+3t)2

=

3+t

- 9 4 t+3

，
求得：t=3，
∴1＜t＜3，
答：t的取值范圍是1＜t＜3．

點評：本題主要考查對矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次方程，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度，用的數(shù)學思想是分類討論思想．