Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分線交⊙O于D，連AD．
（1）求直徑AB的長；
（2）求陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，…（1分）
∵∠B=30°，
∴AB=2AC，…（3分）
∵AB²=AC²+BC²，
∴AB²=AB²+6²，…（5分）
∴AB=4． …（6分）

（2）連接OD．
∵AB=4，∴OA=OD=2，…（8分）
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，…（9分）
∴S_△AOD=OA•OD=•2•2=6，…（10分）
∴S_扇形△AOD=•π•OD²=•π•（2）²=3π，…（11分）
∴陰影部分的面積=S_扇形△AOD-S_△AOD=3π-6． …（12分）
分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用邊角關系、勾股定理來求直徑AB的長度；
（2）連接OD．利用（1）中求得AB=4可以推知OA=OD=2；然后由角平分線的性質求得∠AOD=90°；最后由扇形的面積公式、三角形的面積公式可以求得
陰影部分的面積=S_扇形△AOD-S_△AOD．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面積公式．解答（2）題時，采用了“數形結合”的數學思想．