Question

在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC＞AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向終點(diǎn)C以每秒3cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D開(kāi)始沿DA邊向終點(diǎn)A以每秒2cm的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求四邊形ABPQ為矩形時(shí)t的值；
（2）若題設(shè)中的“BC=18cm”改變?yōu)椤癇C=kcm”，其它條件都不變，要使四邊形PCDQ是等腰梯形，求t與k的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出k的取值范圍；
（3）在移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在t使P、Q兩點(diǎn)的距離為10cm？若存在求t的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，
由題意可知：AB=DH=8，AD=BH，DC=10，
∴HC=，
∴AD=BH=BC-CH，
∵BC=18，
∴AD=BH=12，
若四邊形ABPQ是矩形，則AQ=BP，
∵AQ=12-2t，BP=3t，
∴12-2t=3t
∴（秒），
答：四邊形ABPQ為矩形時(shí)t的值是．


（2）由（1）得CH=6，
如圖1，再過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，
同理：PG=6，
易知：QD=GH=2t，
又BP+PG+GH+HC=BC，
∴3t+6+2t+6=k，
∴，
∴k的取值范圍為：k＞12cm，
答t與k的函數(shù)關(guān)系式是t=，k的取值范圍是k＞12cm．

（3）假設(shè)存在時(shí)間t使PQ=10，有兩種情況：
①如圖2：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
∴，
②如圖3：四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴QD=PC=2t，
又BP=3t，BP+PC=BC，
∴3t+2t=18，
∴（秒），
綜上所述，存在時(shí)間t且秒或秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm，
答：在移動(dòng)的過(guò)程中，存在t使P、Q兩點(diǎn)的距離為10cm，t的值是秒或秒．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理求出HC，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出12-2t=3t，求出即可；
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，求出PG，根據(jù)BP+PG+GH+HC=BC得出方程求出即可；
（3）有兩種情況：①由（2）可以得出3t+6+2t+6=18，求出即可；②四邊形PCDQ是平行四邊形，根據(jù)BP+PC=BC，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，解一元一次方程，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．