Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q．

（1）求∠PAQ的度數(shù)；
（2）如圖2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q．
①若∠BAC=130°，則∠PAQ=______°，若∠BAC=α，則∠PAQ用含有α的代數(shù)式表示為______；
②當∠BAC=______°時，能使得PA⊥AQ；
③若BC=10cm，則△PAQ的周長為______cm．

Answer 1

解：（1）∵邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，
∴∠BAP+∠CAQ=50°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=130°-50°=80°；

（2）①∵邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，
∴∠BAP+∠CAQ=50°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=130°-50°=80°；

∵邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=α，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠BAP+∠CAQ=180°-α，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=α-（180°-α）=2α-180°；

②當∠PAQ=90°，
即2α-180°=90°時，PA⊥AQ，
解得：α=135°，
∴當∠BAC=135°時，能使得PA⊥AQ；

③∵邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∵BC=10cm，
即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，
∴△PAQ的周長為10cm．
故答案為：①80，2α-180°；②135；③10．
分析：（1）由邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AP=BP，AQ=CQ，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，求得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，又由三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)，繼而求得∠PAQ的度數(shù)；
（2）①由邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AP=BP，AQ=CQ，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，求得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，又由三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)，繼而求得∠PAQ的度數(shù)；
②根據(jù)①中的結(jié)論，可得方程2α-180°=90°，繼而求得∠BAC的度數(shù)；
③由邊AB、AC的垂直平分線交BC于點P、Q，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AP=BP，AQ=CQ，然后利用等量代換的知識，即可求得△PAQ的周長．
點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直的定義以及等腰三角形的性質(zhì)．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應用，注意等量代換知識的應用．