【題目】如圖(1),菱形ABCD對角線AC、BD的交點O是四邊形EFGH對角線FH的中點,四個頂點A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE上.

(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)如圖(2)若四邊形EFGH是矩形,當AC與FH重合時,已知,且菱形ABCD的面積是20,求矩形EFGH的長與寬.

【答案】(1)證明見解析;(2)矩形EFGH的長為8,寬為4.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出OA=OC,OD=OB,再由中點的性質(zhì)可得出OF=OH,結(jié)合對頂角相等即可利用全等三角形的判定定理(SAS)證出AOF≌△COH,從而得出AFCH,同理可得出DHBF,依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證出結(jié)論;

(2)設(shè)矩形EFGH的長為a、寬為b.根據(jù)勾股定理及邊之間的關(guān)系可找出AC=,BD=,利用菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)可得出AOB=AGH=90°,從而可證出BAO∽△CAG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出,套入數(shù)據(jù)即可得出a=2b①,再根據(jù)菱形的面積公式得出②,聯(lián)立①②解方程組即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)證明:點O是菱形ABCD對角線AC、BD的交點,OA=OC,OD=OB,點O是線段FH的中點,OF=OH.在AOF和COH中,OA=OC,AOF=COH,OF=OH,∴△AOF≌△COH(SAS),∴∠AFO=CHO,AFCH.

同理可得:DHBF,四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)設(shè)矩形EFGH的長為a、寬為b,則AC=

=2,BD=AC=,OB=BD=,OA=AC=

四邊形ABCD為菱形,ACBD,∴∠AOB=90°.

四邊形EFGH是矩形,∴∠AGH=90°,∴∠AOB=AGH=90°,又∵∠BAO=CAG,∴△BAO∽△CAG,,即,解得:a=2b①.

S菱形ABCD=ACBD==20,②.

聯(lián)立①②得:,解得:,或(舍去),矩形EFGH的長為8,寬為4.

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