Question

如圖1，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，與反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象交于點C，連OC，若S_△AOC=2．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，過點B作BM⊥OB交反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象于點M，點N為反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上一點，∠ABM=∠BAN，求直線AN的解析式；
（3）如圖3，點E在x軸上，點F在y軸上，OE=BF，EF交AB于點G，∠AGE=45°，求點G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先由一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4及x軸、y軸上點的坐標(biāo)特征，求出A﹙2，0﹚，B﹙0，4﹚，再根據(jù)S_△AOC=2，利用三角形的面積公式求出C（1，2），然后運用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）由A﹙2，0﹚，B﹙0，4﹚，C﹙1，2﹚三點的坐標(biāo)，可知C為AB的中點，如圖2，延長BM交AN的延長線于D，根據(jù)等角對等邊得到DB=DA，再連結(jié)DC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DC⊥BA，則∠DCB=∠BOA=90°，由平行線的性質(zhì)易得∠DBA=∠BAO，那么△DBC∽△BAO，得出DB：BC=BA：AO，求出DB=5，得到D﹙5，4﹚，然后運用待定系數(shù)法即可求出直線AN的解析式；
（3）設(shè)E（t，0），則F（0，4-t）．如圖3，過點F作FH⊥AB于H，先解Rt△BFH，求出BH=

2 5

5

t，F(xiàn)H=

5

5

t=GH，則BG=

3 5

5

t，再設(shè)G（x，-2x+4），根據(jù)兩點間的距離公式得出BG²=5x²=（

3 5

5

t）²，求出x=

3

5

t，則G（

3

5

t，-

6t

5

+4），然后根據(jù)E、G、F三點共線，列出方程

4-t-0

0-t

=

(4-t)-(- 6t 5 +4)

0- 3 5 t

，解方程求出t=3，進而得到G點坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-2x+4的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A﹙2，0﹚，B﹙0，4﹚．
設(shè)C（m，n）．
∵S_△AOC=2，
∴

1

2

×2×n=2，
解得n=2．
又n=-2m+4，
∴m=1，
∴C（1，2），
所以反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；

（2）∵A﹙2，0﹚，B﹙0，4﹚，C﹙1，2﹚，
∴C為AB的中點，AO=2，BO=4，AB=2

5

，
∴BC=

5

． 如圖2，延長BM交AN的延長線于D，
∵∠ABM=∠BAN，
∴DB=DA，
連結(jié)DC，則DC⊥BA，
∵BM⊥OB，
∴BM∥OA，
∴∠DBA=∠BAO，
又∠DCB=∠BOA=90°，
∴△DBC∽△BAO，
∴DB：BC=BA：AO，即DB：

5

=2

5

：2，
∴DB=5，
∴D﹙5，4﹚．
設(shè)直線AN的解析式為y=mx+b，
∵直線AN過A﹙2，0﹚、D﹙5，4﹚，
∴

2m+b=0 5m+b=4

，

m= 4 3 b=- 8 3

∴直線AN的解析式為y=

4

3

x-

8

3

；

（3）設(shè)E（t，0），則F（0，4-t）．
如圖3，過點F作FH⊥AB于H．
在Rt△BFH中，∵∠BHF=90°，BF=OE=t，
∴BH=BF•cos∠B=t•

4

2 5

=

2 5

5

t，F(xiàn)H=BF•sin∠B=t•

2

2 5

=

5

5

t，
∵∠AGE=45°=∠HGF，
∴HG=FH=

5

5

t，
∴BG=BH+HG=

2 5

5

t+

5

5

t=

3 5

5

t．
設(shè)G（x，-2x+4），
∵B﹙0，4﹚，
∴BG²=（x-0）²+（-2x+4-4）²=5x²，
∴5x²=（

3 5

5

t）²，
∴x=

3

5

t（負(fù)值舍去），
∴G（

3

5

t，-

6t

5

+4）．
∵E、G、F三點共線，
∴

4-t-0

0-t

=

(4-t)-(- 6t 5 +4)

0- 3 5 t

，
解得t=3，
∴G（

9

5

，

2

5

）．

點評：本題是反比例函數(shù)綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征，中點坐標(biāo)、兩點間的距離公式，解直角三角形等知識，綜合性較強，有一定難度．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．