Question

已知如下圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，過點F作EF⊥CE，交CB的延長線于F。
（1）求證：BC是⊙P的切線；
（2）若CD=2，CB=2，求EF的長；
（3）若設k=PE∶CE，是否存在實數(shù)k，使△PBD恰好是等邊三角形，若存在，求出k的值；若不存在， 請說明理由。

Answer 1

解：（1）連接PA、PB；
∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半徑，
∴AC⊥PA，即∠PAC=90°
又∵四邊形PACB接于⊙O
∴∠ PBC+∠PAC=180°
∴∠PBC=90°，
即PB⊥CB，
∴BC是⊙P的切線；
（2）連BD、BE則∠DBC+∠DBP=90°，∠BDP+∠BED=90°
又∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB
∴∠DBC=∠BEC
∴△CBD∽△CEB
∴BC²=CD·CE
∴CE=4，DE=4-2=2
∴PB=1，
∵∠ECF=∠BCP
∴△EFC∽△BPC
∴
∴EF=
（3）存在實數(shù)k，使△PBD為等邊三角形，


CE=3PEPE∶CE=1∶3
即：k=時，△PBD為等邊三角形。